Função Tardos Contra-exemplo da Reivindicação

Na presente discussão , tentativa de Norbet Blum prova é sucintamente refutada por notar que a função Tardos é um contra-exemplo Teorema 6. $P \neq NP$

Teorema 6 : Let ser qualquer função monótona booleano. Suponha que exista um aproximador de CNF-DNF que possa ser usado para provar um limite inferior para . Então também pode ser usado para provar o mesmo limite inferior para . $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

Aqui está o meu problema: a função Tardos não é uma função booleana, então como ela satisfaz as hipóteses do Teorema 6?

No presente documento , eles discutem a complexidade da função , que não está no mesmo tom geral função booleana, desde bordas crescentes pode fazer maior para fazer falso quando era verdade com menos 's na entrada. A função geralmente não calcula em $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ e em $0$ $T_0$ .

De fato, os conjuntos de teste e são escolhidos com precisão, de modo que calcular em e em com monotonicidade significa sua função em calcular com precisão CLIQUE (eles definem o limite de e $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$ ' s em rede de entradas), portanto, essas observações implicam que a função Tardos é a mesma que CLIQUE, o que claramente não é verdadeiro.

No entanto, tantas pessoas - e pessoas tão conhecedoras - afirmam que a função Tardos fornece um contra-exemplo imediato; portanto, deve haver algo que me falta. Você poderia fornecer uma explicação ou prova detalhada para aqueles de nós que são partes interessadas, mas que não são do seu nível?

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes user144527
fonte

Uma boa fonte seria o livro de Jukna, p.272 (logo antes do Teorema 9.28). Dada a função (não booleana)

, considere a função booleana

que é o limiar de

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

O resultado será aplicado.

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

Clement C.

Assim, para ser claro, você está me dizendo que

irá avaliar a

em panelinhas de tamanho

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

nos gráficos de

vértices induzidos por

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

corantes?

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

user144527

Obviamente, isso não vale para nenhum

. Mas a função de Tardos

é baseada em uma função gráfica monótona

satisfazendo

. Então, limiar

faz exatamente o que você diz. Veja o final da Seção 9.8 aqui .

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

Stasys

Direita. Na verdade, eu não entendo por que as pessoas estão votando negativamente na sua (elegível em vista de todo esse barulho em torno dessa "prova") pergunta? Agora é o autor dessa reivindicação P! = NP: explique por que a "prova" NÃO funcionará para a função de Tardos. Aponte para a página X e as linhas Y no papel. Dica: o erro estará no limite superior do número de erros introduzidos durante a aproximação (negações podem aniquilar muitos termos "válidos" anteriormente). Caso contrário (sem explicação) = sem "prova".

Stasys

@Stasys, seu primeiro comentário pode ser uma resposta.

precisa saber é

portanto, essas observações sugerem que a função Tardos é igual a CLIQUE. $f$

Resposta curta - NÃO.

É apenas um "clique-like" monótono : aceita todas as -cliques e rejeita todos os gráficos completos partes. No entanto, ele pode aceitar alguns gráficos rejeitados pelo CLIQUE: gráficos com mas (chamados gráficos "não perfeitos"). O artigo de Grötschel, Lovász e Schrijver implica que possui um circuito não monótono de tamanho polinomial. Mas, de acordo com o Teorema 6 na "prova" , $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ qualquerA função booleana monótona do tipo clique requer circuitos não monótonos de tamanho super-polinomial. Portanto, um desses dois documentos deve estar errado. O documento GLS-1981 já existia há> 35 anos ...

O que Tardos faz é o seguinte. Ela parte da função gráfica , onde é a famosa função teta de Lovász. O fato fundamental é que o número está ensanduichada entre o número de clique e o número cromática: . Ela, então, usa o fato de que $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ $\phi(G)$

$\phi(G)$ $n$
$\phi$
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ $G$

$f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ . Em (1), a função possui um circuito (não monótono) de tamanho polinomial. Por (2), $f$ é uma função booleana monótona. Por (3), $f$ aceita tudo $k$ -cliques e rejeita todas as $(k-1)$ gráficos de partes.

Veja aqui para detalhes técnicos.

Stasys
fonte

O documento GLS-1981 está aqui de graça. Este artigo, por sua vez, é baseado no papel elipsóide Khachiyan-1979. Então, (pelo menos) um desses três trabalhos deve estar errado?

Tobias Müller

@Tobias: bem, temos certeza de que esses dois> 35 trabalhos antigos estão corretos (tantas vezes reproduzidos em palestras, alguém já teria observado um erro). O problema com a "prova" atual é que ela é "por construção", não "por um argumento" (como nos dois artigos mencionados). Em seguida, fica difícil apontar para um local específico , onde a "construção" falha. Especialmente quando a "construção" é tão imprecisa. É por isso que eu acho que é agora o dever do autor, e não de nós, a ponto da este lugar (onde Tardos não passa por sua construção.)

Stasys

Função Tardos Contra-exemplo da Reivindicação

Respostas: