Classes de complexidade de circuitos lineares

A classe $\textrm{NC}^i$ representa as funções de classe computável por circuitos de famílias limitada fã-no, $n^{O(1)}$ tamanho e $O(\log^i(n))$ de profundidade. A hierarquia $\textrm{NC}$ é a união dessas classes.

Existe algum estudo da variante de tamanho linear dessa hierarquia? Ou seja, famílias de circuitos de ventilador limitado, profundidade de polilog e tamanho linear?

Eu sei que existe algum trabalho com linear- $\textrm{AC}^0$ mas nada mais. Observe que pelo menos linear- $\textrm{NC}^1$ não é trivial, pois contém idiomas regulares (e, portanto, alguns idiomas completos de $\textrm{NC}^1$ ).

Segue-se do trabalho de Valiant [1, 2] que $\textrm{NC}^1$ tamanho linear pode ser simulado por circuitos de tamanho $2^{O(n / \log \log n)}$ de profundidade três e fan-in ilimitado.

Para uma boa exposição desse resultado, consulte a seção 3 da pesquisa de Viola [3].

[1] Leslie G. Valiant. Argumentos teóricos dos grafos em complexidade de baixo nível . In: Mathematics Foundations of Computer Science 1977. MFCS 1977. Lecture Notes in Computer Science, vol. 53. Springer, Berlim, Heidelberg.

[2] Leslie G. Valiant. Limites inferiores exponenciais para circuitos monotônicos restritos . In: Anais do décimo quinto simpósio anual da ACM sobre Teoria da Computação (STOC '83). ACM, Nova Iorque, NY, EUA, 110-117.

[3] Emanuele Viola. Sobre o poder da computação em pequena profundidade . Fundamentos e Tendências em Ciência da Computação Teórica, vol. 5, num. 1, pp. 1-72, 2009.