Existe alguma conexão entre a norma do diamante e a distância dos estados associados?

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Na teoria da informação quântica, a distância entre dois canais quânticos é frequentemente medida usando a norma do diamante. Também existem várias maneiras de medir a distância entre dois estados quânticos, como a distância do traço, a fidelidade, etc. O isomorfismo de Jamiołkowski fornece uma dualidade entre canais quânticos e estados quânticos.

Isso é interessante, pelo menos para mim, porque a norma do diamante é notoriamente difícil de calcular, e o isomorfismo de Jamiołkowski parece implicar alguma correlação entre medidas de distância de canais quânticos e estados quânticos. Então, minha pergunta é a seguinte: Existe alguma relação conhecida entre a distância na norma do diamante e a distância entre os estados associados (em alguma medida)?

Joe Fitzsimons
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Não sei ao certo o que você quer dizer com “a norma de diamante é notoriamente difícil de calcular”. Se você receber um canal quântico como uma matriz explícita (digamos da sua representação de Choi-Jamiołkowski), o quadrado da sua norma de diamante pode ser formulado como um programa semidefinido; veja a Seção 20.4 da nota de aula de John Watrous . Nesse sentido, a norma do diamante tem um meio eficiente de calcular.
Tsuyoshi Ito 12/02
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@ Tsuyoshi: Eu estava apenas me referindo à otimização implícita. Eu não quis dizer computacionalmente difícil, mas bastante complicado de trabalhar.
Joe Fitzsimons
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Estas são notas de aula muito boas, como um aparte.
Suresh Venkat
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@Suresh @Tsuyoshi: Sim, são ótimas notas, mas acho que não respondem a essa pergunta em particular.
Joe Fitzsimons
@TsuyoshiIto: por algum motivo, a última seção dos slides do QIP é 20.3, você tem um conjunto de palestras mais completas?
Artem Oboturov

Respostas:

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Para um canal quântico , vamos escrever para indicar o estado associado: Aqui estamos supondo que o canal mapeia (ie, matrizes complexas) para para qualquer escolha de inteiros positivos e que você gosta. A matriz às vezes é chamada de matriz Choi ou representação Choi-Jamiolkowski de , mas é mais frequente que esses termos sejam usados ​​quando a normalização é omitida.J ( Φ ) J ( Φ ) = 1ΦJ(Φ)Mn(C)n×nMm(C)nmJ(Φ)Φ1

J(Φ)=1n1i,jnΦ(|ij|)|ij|.
Mn(C)n×nMm(C)nmJ(Φ)Φ1n

Agora, suponha que e sejam canais quânticos. Podemos definir a "distância da norma do diamante" entre eles como que indica o canal de identidade de para si mesmo, denota a norma de rastreamento e o supremo é assumido por todas as e todas as matrizes de densidade escolhidas entre . O supremo sempre é alcançado para alguma escolha deΦ0Φ1

Φ0Φ1=supρ(Φ0Idk)(ρ)(Φ1Idk)(ρ)1
IdkMk(C)1k1ρMnk(C)=Mn(C)Mk(C)kn e alguma matriz de densidade de classificação 1 .ρ

(Observe que a definição acima não funciona para mapeamentos arbitrários, somente aqueles no formato para mapas completamente positivos e . Para mapeamentos gerais, o supremo é ocupado por todas as matrizes com norma de rastreamento 1, em vez de apenas matrizes de densidade.)Φ=Φ0Φ1Φ0Φ1

Se você não tem nenhuma suposição adicional nos canais, não pode dizer muito sobre como essas normas se relacionam além desses limites grosseiros: Para a segunda desigualdade, está-se essencialmente decidindo pela escolha específica ao invés de tomar o supremo sobre tudo

1nΦ0Φ1J(Φ0)J(Φ1)1Φ0Φ1.
ρ=1n1i,jn|ij||ij|
ρ. A primeira desigualdade é uma oferta mais difícil, mas seria uma questão de atribuição razoável para um curso de pós-graduação em informações quânticas. (Nesse ponto, devo agradecer sua pergunta, porque pretendo utilizá-la totalmente na oferta de outono do meu curso de teoria da informação quântica.)

Você pode obter uma das desigualdades para uma escolha apropriada dos canais e , mesmo sob a suposição adicional de que os canais são perfeitamente distinguíveis (significando ).Φ0Φ1Φ0Φ1=2

John Watrous
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Obrigado John, que responde perfeitamente à minha pergunta e me salvou muito tempo.
Joe Fitzsimons
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Você também pode procurar em Medidas de distância para comparar processos quânticos reais e ideais arXiv: quant-ph / 0408063, que fornece uma visão geral das medidas de distância para canais quânticos e seus relacionamentos.

Eles usam o termo distância S para a distância do diamante e distância J para a distância do traço dos operadores Jamiołkowski associados aos canais.

Antonio Valério Miceli-Barone
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Gosto de pensar na primeira desigualdade que Watrous escreveu em termos de teletransporte probabilístico de canais. Se você interpretar a norma de diamante como uma medida da menor probabilidade de erro em discriminar os canais e , e a norma de rastreamento como o equivalente para seus estados de Jamiolkowski, sempre poderá implementar a estratégia ideal para os canais de seus estados correspondentes com probabilidade de sucesso. Colocar isso rigorosamente pode ser uma maneira de provar a desigualdade.Φ0Φ11n

Além disso, esse modo de pensar mostra que, se os canais podem ser teletransportados de forma determinística (como os canais de Pauli), sua norma de diamante é igual à distância do traço de Jamiolkowski.

Alex Monras
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