Existe alguma conexão entre a norma do diamante e a distância dos estados associados?

Na teoria da informação quântica, a distância entre dois canais quânticos é frequentemente medida usando a norma do diamante. Também existem várias maneiras de medir a distância entre dois estados quânticos, como a distância do traço, a fidelidade, etc. O isomorfismo de Jamiołkowski fornece uma dualidade entre canais quânticos e estados quânticos.

Isso é interessante, pelo menos para mim, porque a norma do diamante é notoriamente difícil de calcular, e o isomorfismo de Jamiołkowski parece implicar alguma correlação entre medidas de distância de canais quânticos e estados quânticos. Então, minha pergunta é a seguinte: Existe alguma relação conhecida entre a distância na norma do diamante e a distância entre os estados associados (em alguma medida)?

Para um canal quântico , vamos escrever para indicar o estado associado: Aqui estamos supondo que o canal mapeia (ie, matrizes complexas) para para qualquer escolha de inteiros positivos e que você gosta. A matriz às vezes é chamada de matriz Choi ou representação Choi-Jamiolkowski de , mas é mais frequente que esses termos sejam usados ​​quando a normalização é omitida.J ( Φ ) J ( Φ ) = $\Phi$$J(\Phi)$Mn(C)n×nMm(C)nmJ(Φ)Φ

$$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$$ $M_n(\mathbb{C})$$n\times n$$M_m(\mathbb{C})$$n$$m$$J(\Phi)$$\Phi$$\frac{1}{n}$

Agora, suponha que e sejam canais quânticos. Podemos definir a "distância da norma do diamante" entre eles como que indica o canal de identidade de para si mesmo, denota a norma de rastreamento e o supremo é assumido por todas as e todas as matrizes de densidade escolhidas entre . O supremo sempre é alcançado para alguma escolha de$\Phi_0$$\Phi_1$

$$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$$ $\operatorname{Id}_k$$M_k(\mathbb{C})$$\| \cdot \|_1$$k \geq 1$$\rho$$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$$k\leq n$ e alguma matriz de densidade de classificação 1 .$\rho$

(Observe que a definição acima não funciona para mapeamentos arbitrários, somente aqueles no formato para mapas completamente positivos e . Para mapeamentos gerais, o supremo é ocupado por todas as matrizes com norma de rastreamento 1, em vez de apenas matrizes de densidade.)$\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$$\Phi_0$$\Phi_1$

Se você não tem nenhuma suposição adicional nos canais, não pode dizer muito sobre como essas normas se relacionam além desses limites grosseiros: Para a segunda desigualdade, está-se essencialmente decidindo pela escolha específica ao invés de tomar o supremo sobre tudo

$$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$$ $$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$$ $\rho$. A primeira desigualdade é uma oferta mais difícil, mas seria uma questão de atribuição razoável para um curso de pós-graduação em informações quânticas. (Nesse ponto, devo agradecer sua pergunta, porque pretendo utilizá-la totalmente na oferta de outono do meu curso de teoria da informação quântica.)

Você pode obter uma das desigualdades para uma escolha apropriada dos canais e , mesmo sob a suposição adicional de que os canais são perfeitamente distinguíveis (significando ).$\Phi_0$$\Phi_1$$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

Você também pode procurar em Medidas de distância para comparar processos quânticos reais e ideais arXiv: quant-ph / 0408063, que fornece uma visão geral das medidas de distância para canais quânticos e seus relacionamentos.

Eles usam o termo distância S para a distância do diamante e distância J para a distância do traço dos operadores Jamiołkowski associados aos canais.

Gosto de pensar na primeira desigualdade que Watrous escreveu em termos de teletransporte probabilístico de canais. Se você interpretar a norma de diamante como uma medida da menor probabilidade de erro em discriminar os canais e , e a norma de rastreamento como o equivalente para seus estados de Jamiolkowski, sempre poderá implementar a estratégia ideal para os canais de seus estados correspondentes com probabilidade de sucesso. Colocar isso rigorosamente pode ser uma maneira de provar a desigualdade.$\Phi_0$$\Phi_1$$\frac{1}n$

Além disso, esse modo de pensar mostra que, se os canais podem ser teletransportados de forma determinística (como os canais de Pauli), sua norma de diamante é igual à distância do traço de Jamiolkowski.