Algoritmos polinomiais para UPB (bases de produtos não extensíveis)

Considere-se um espaço de Hilbert . Uma base de produto não extensível (UPB) é um conjunto de vetores de produtos | v i ⟩ = | v 1 i ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | v n i ⟩ tais que:$H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

a) todos são mutuamente ortogonais$\vert v_i \rangle$

b) não há vetor de produto ortogonal a todos $\vert v_i \rangle$

c) a base não é trivial, ou seja, não abrange $H$

(tais bases são de interesse em informações quânticas)

Questões:

1. Existe um algoritmo polinomial (em ) para encontrar UPBs? (observe que, em geral, não há limite superior no tamanho do UPB, portanto, a priori, pode ser exponencial em n )$n$$n$

2. Existe um algoritmo polinomial para verificar se uma determinada base de produto é um UPB? (ou seja, não é extensível)

Ou o problema está completo?

$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$$n\geq 3$$n=2$$\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$

Para a pergunta (2), a pergunta é equivalente a verificar se existe um estado do produto tensorial no subespaço que é o complemento do espaço estendido pela base. Leonid Gurvits mostrou que verificar se um subespaço geral contém um estado de produto tensorial é difícil para NP, então eu suspeito que seja difícil também neste caso.

A classificação completa também é conhecida por outro caso simples 3x3, abordado pela primeira vez no artigo http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 .

O resultado também está relacionado à construção de estados emaranhados arbitrários de PPT 3x3 do ranking quatro. Veja o artigo

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .