Problemas decidíveis “naturais” que se sabe não estarem em NP.

Toda vez que ensino NP-Completeness, os alunos perguntam "existem problemas conhecidos por não pertencerem a NP?"

Como você responderia? Normalmente, dou a eles um problema indecidível como exemplo, mas isso geralmente não resulta bem: (a) se eu der a eles o Problema da Parada, eles acham que é algum caso idiota, e (b) se eu lhes der as Equações Diofantinas, eles não veja por que não está no NP (você pode verificar as soluções no tempo de polivinil ... basta conectá-las! É difícil desabilitá-las dessa abordagem.)

Eu gostaria de dar a eles algo como QBF como exemplo, mas não há separação comprovada.

Sugestões?

Uma possibilidade é um problema que é EXPSPACE completo. NP é trivial no PSPACE, que é estritamente contido no EXPSPACE. Um problema que é expspace-completo é decidir se uma expressão regular que permite exponenciação é tudo de $\Sigma^*$ .

Como você está enfatizando problemas naturais, aqui está um problema muito natural que não está em N P : Problema de mosaico quadrado: dado um conjunto de mosaicos finitos, ele forma um quadrado de tamanho 2 n x 2 n ?$NEXP$$NP$$2^n$$2^n$

Observe que quando o tamanho do quadrado é x n ( n é codificado em unário), o problema se torna N P completo.$n$$n$$n$$NP$

Para a completitude da telha quadrada, verifique a referência.$NEXP$

[1] Christos H. Papadimitriou. Complexidade computacional. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1994

Sabe-se que qualquer problema completo para ou 2 E X P T I M E não está em N P (pelo teorema da hierarquia de tempo). Da mesma forma para N E X P S P A C E e E X P S P A C $NEXPTIME$$EXPTIME$$NP$$NEXPSPACE$$EXPSPACE$(por hierarquia espacial + simulação). Muitas vezes, você pode obter problemas "falsos" preenchendo, mas os problemas naturais completos para essas classes não parecem tão comuns (provavelmente porque são incrivelmente difíceis!), Mas aqui estão alguns:

EXPSPACE:
equivalência de expressão regular com operador de exponenciação

2-EXPTIME:
Satisfação para CTL * (uma lógica temporal)
Satisfação para ATL *
Problema de decisão para aritmética de Presburger

Um exemplo simples é a função de tetração , que nem está em ELEMENTARY . Você poderia usar alguma versão de decisão disso.

Pelo teorema da hierarquia temporal , se é uma função construtível no tempo ef ( n + 1 ) = o ( g ( n ) ) , então:$g(n)$$f(n+1) = o(g(n))$

.$\operatorname{NTIME}(f(n)) \subsetneq \operatorname{NTIME}(g(n))$

Portanto, por exemplo, qualquer problema completo do NEXP não está no NP. Citação da Wikipedia :

Um conjunto importante de problemas NEXPTIME-complete refere-se a circuitos sucintos. Circuitos sucintos são máquinas simples usadas para descrever gráficos em exponencialmente menos espaço. Eles aceitam dois números de vértice como entrada e saída, se houver uma aresta entre eles. Se a resolução de um problema em um gráfico em uma representação natural, como uma matriz de adjacência, for NP-completa, a resolução do mesmo problema em uma representação sucinta do circuito será NEXPTIME-complete, porque a entrada é exponencialmente menor. Como um exemplo simples, encontrar um caminho hamiltoniano para um gráfico assim codificado é NEXPTIME-complete.

Consulte também a seção "Problemas sucintos" na página 492 do livro de Papadimitriou .

Um sistema de canais é um conjunto de autômatos finitos com canais de comunicação sobre os quais eles podem enviar mensagens. Uma mensagem é uma letra de um alfabeto. Em um sistema de canal com perdas, as mensagens podem ser descartadas: uma carta enviada por um canal pode desaparecer. O problema de alcançabilidade para sistemas de canais com perdas é decidível, mas não recursivo não primitivo.

Para um exemplo mais delicado, o problema de acessibilidade para sistemas de adição de vetores é muito difícil para o EXPSpace.