Qual o papel da predicatividade nas definições indutivas na teoria dos tipos?

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Muitas vezes queremos definir um objeto acordo com algumas regras de inferência. Estas regras denotar uma função de geração de que, quando ele é monótona, produz um ponto fixo menos . Tomamos para ser a "definição indutiva" de . Além disso, a monotonicidade de nos permite argumentar com o "princípio da indução" para determinar quando um conjunto contém (isto é, quando uma propriedade se apóia universalmente em ).AUFμFA:=μFAFAA

Em Coq, isso corresponde a escrever uma de com termos explícitos de introdução. Embora essa definição denote uma função específica , essa função não é necessariamente monotônica. A Coq, portanto, emprega algumas verificações sintáticas para garantir a "boa formação" da definição. Para alguma aproximação, rejeita ocorrências de em posições negativas nos tipos dos termos de introdução.InductiveAFA

(Se meu entendimento até este ponto for incorreto, corrija-me!)

Primeiro, algumas perguntas no contexto da Coq:

1) A verificação sintática em Coq serve apenas para garantir que a definição de seja predicativa ? (Se sim, a impredicatividade é a única maneira pela qual a definição seria mal definida?) Ou está verificando a monotonicidade? (Correspondentemente, é a não monotonicidade o que pode matá-lo?)A

2) A uma tal ocorrência negativa de implica necessariamente que definição 's é impredicativa / não monótona? Ou a Coq simplesmente não consegue verificar se está bem definida nesse caso?AUMA

E mais geralmente:

3) Qual a relação entre predicatividade de uma definição indutiva e monotonicidade da função geradora dessa definição? Eles são dois lados da mesma moeda? Eles não estão relacionados? Informalmente, qual deles importa mais?

Scott Kilpatrick
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Respostas:

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Não, neste caso, predicatividade e monotonicidade não estão intimamente relacionadas.

A verificação de positividade em Coq / Adga serve para garantir que você esteja tomando o ponto menos fixo de uma coisa monotônica, aproximadamente.

Veja como pensar em tipos indutivos em termos de redes e operadores monótonos. Lembre-se de que o teorema de Knaster-Tarski diz que, em uma rede completa , todo operador monótono f : L L tem um ponto menos fixo μ ( f ) . Em seguida, podemos pensar nos tipos em uma teoria de tipos como formando uma rede sob provabilidade. Ou seja, digite S está abaixo de T se a verdade de S implica que de T . Agora, o que gostaríamos de fazer é usar um operador monótono F nos tipos e usar Knaster-Tarski para obter uma interpretação do ponto menos fixo desse operador.Lf:LLμ(f)STSTF . μ(F)

No entanto, os tipos na teoria dos tipos não são apenas uma estrutura: eles formam uma categoria. Isto é, dado dois tipos e T , existem potencialmente muitas maneiras para S seja inferior T , com um modo para cada prova e : S T . Portanto, um operador de tipo F também precisa fazer algo sensato nessas provas. A generalização apropriada de monotonicidade é functoriality . Ou seja, queremos que F tenha um operador em tipos e também tenha uma ação em provas, de modo que se e : S T , então F (STSTe:STFFe:ST .F(e):F(S)F(T)

Agora, a funcionalidade é preservada por somas e produtos (ou seja, se e G são endofuncionais em tipos, então F + G e F × G (agindo no sentido horário) também são funcionantes em tipos (supondo que tenhamos somas e produtos em nossa álgebra de No entanto, ele não é preservado pelo espaço de funções, uma vez que o bifuncor exponencial F G é contravariante em seu argumento à esquerda.Portanto, quando você escreve uma definição de tipo indutivo, está definindo um functor para que considere um ponto menos fixo. Para garantir que ele seja realmente um functor, é necessário descartar ocorrências do parâmetro recursivo no lado esquerdo dos espaços de função - daí a verificação de positividade.FGF+GF×GFG

A impredicatividade (no sentido do Sistema F) é geralmente evitada, porque é um princípio que o força a escolher entre a lógica clássica e os modelos da teoria dos conjuntos. Você não pode interpretar tipos como conjuntos na teoria clássica de conjuntos se tiver uma indexação no estilo F. (Veja o famoso "polimorfismo de Reynolds não é teórico-conjunto".)

Categoricamente, a impredicatividade do estilo F diz que a categoria de tipos e termos forma uma pequena categoria completa (ou seja, homs e objetos são conjuntos e existem limites para todos os pequenos diagramas). Classicamente, isso força uma categoria a ser um poset. Muitos construtivistas são construtivos porque querem que seus teoremas se mantenham em mais sistemas do que apenas a lógica clássica e, portanto, não querem provar nada que seja classicamente falso. Portanto, eles desconfiam de polimorfismo impredicativo.

No entanto, o polimorfismo permite dizer muitas condições classicamente "grandes" internamente à sua teoria de tipos - e a positividade é uma delas! Um operador de tipo é funcional, se você pode produzir um termo polimórfico:F

Fmumap:α,β.(αβ)(F(α)F(β))

Vê como isso corresponde à funcionalidade? Na IMO, essa seria uma opção muito boa de ter no Coq, pois permitiria a programação genérica com muito mais facilidade. A natureza sintática da verificação de positividade é um grande obstáculo à programação genérica, e eu ficaria feliz em trocar a possibilidade de axiomas clássicos por programas funcionais mais flexíveis.

EDIT: A pergunta que você está perguntando sobre a diferença entre Prop e Set surge do fato de que os desenvolvedores do Coq querem permitir que você pense nos teoremas do Coq em termos ingênuos da teoria dos conjuntos, se desejar, sem forçar a fazê-lo. Tecnicamente, eles dividem Prop e Set e, em seguida, proíbem que os conjuntos dependam do conteúdo computacional de Prop.

Portanto, você pode interpretar Prop como valores de verdade no ZFC, que são os booleanos true e false. Neste mundo, todas as provas de proposições são iguais e, portanto, obviamente, você não deve poder se ramificar na prova de uma proposição. Portanto, a proibição de conjuntos, dependendo do conteúdo computacional das provas de Prop, é totalmente sensata. Além disso, a rede booleana de 2 elementos é obviamente uma rede completa, portanto deve oferecer suporte à indexação impredicativa, uma vez que existem reuniões arbitrárias com valor definido. A restrição de predicatividade em Conjuntos surge do fato (mencionado acima) de que a indexação no estilo F é degenerada nos modelos clássicos de teoria dos conjuntos.

Coq tem outros modelos (é lógica construtiva!), Mas a questão é que, na prateleira, nunca provará nada pelo qual um matemático clássico ficaria intrigado.

Neel Krishnaswami
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Obrigado pela sua resposta, Neel. Sua definição de "definição indutiva" parece corresponder mais à abordagem "álgebra inicial ": em vez de funções monotônicas (que não dizem nada de provas e conteúdo computacional), nos preocupamos com (a noção mais geral de) functores. Então, em vez de verificar a monotonicidade, Coq está realmente verificando a funcionalidade. No entanto, se predicativity não está em questão, por que Coq distinguir entre o positivo-ocorrência de verificação para objectos definidos em P r O p e aqueles em S e T ou T y p e ? FPropSetType
22411 Scott Stapatrick
Não entendi sua pergunta: Coq odeia o Inductive Blah : Prop := Foo : (Blah -> Blah) -> Blahmesmo que qualquer outra coisa?
Neel Krishnaswami
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Ah, talvez eu esteja confundindo a verificação de positividade com outra verificação relacionada à impredicatividade. Considere Inductive prop : Prop := prop_intro : Prop -> prop.vs. Inductive set : Set := set_intro: Set -> set.. Por que a distinção se a predicatividade não interessa à definição indutiva?
Scott Kilpatrick
@ ScottKilpatrick: essa é realmente uma verificação diferente e sobre a (im) predicatividade. Tipos Sigma fortes impredicativos permitem codificar o paradoxo de Girard; portanto, um tipo de dados que armazena um membro de algum universo, digamos Type@{i}, deve viver em um universo maior, pelo menos Type@{i+1}.
Blaisorblade 31/03/19
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Existe uma conexão muito profunda entre definições indutivas e impredicatividade, mas meu entendimento é que, no contexto do que você está falando (im) predicatividade, não é particularmente relevante e o teste é puramente para garantir a monotonicidade, para que a teoria do ponto fixo possa ser aplicado, a saber, que o princípio da indução está bem definido. (Estou disposto a ser corrigido neste ponto.)

A relação entre impredicatividade e definições indutivas é explorada nesta palestra por Coquand. Remonta a alguns resultados dos anos 50 de G. Takeuti que definições impredicativas podem ser reduzidas a definições indutivas. O livro

  • Teoria da Prova de Subsistemas Impredicativos de Análise - Monografias e Livros Didáticos em Ciências Físicas 2 por W. Buchholz, K. Schutte

fornece uma boa análise do tópico, se você puder colocar suas mãos nele. Esses slides fornecem uma visão geral.

Dave Clarke
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Apenas para completar a excelente explicação de Neil, a impredicatividade tem um sentido "suave": a definição de conjuntos ou coleções usando uma referência a si mesmas. Nesse sentido:

Inductive Lam : Set :=
| Var : Nat -> Lam
| App : Lam -> Lam -> Lam
| Abs : (Lam -> Lam) -> Lam

é uma definição impredicativa, pois define um tipo indutivo, Lam usando um espaço de função (Lam -> Lam) que se refere à coleção em si. Nessa situação, a impredicatividade é prejudicial : é possível usar o teorema de Cantor para provar False. De fato, esse é o mesmo tipo de impredicatividade que desconta a ingênua teoria dos conjuntos como uma base consistente para a matemática. Portanto, não é permitido no Coq. Outra forma de impredicatividade é permitida, como você sabe:

Definition Unit : Prop := forall X:Prop, X -> X

A definição de Unidade como proposição faz referência à coleção de todas as proposições das quais é membro. No entanto, por razões um tanto obscuras para mim, essa impredicatividade não é prejudicial, pois está presente no ZFC (na forma de compreensão ilimitada ) que não é conhecido por ser inconsistente.

Em conclusão, ocorrências negativas de tipos indutivos nas definições são uma forma de impredicatividade, mas não a normalmente mencionada quando se fala em CoC como uma estrutura impredicativa .

cody
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Entendo que você esteja dizendo que o ZFC tem compreensão ilimitada. Mas isso parece errado - math.stackexchange.com/q/24507/79293 . Chlipala discute isso ao discutir -impredicative-setem seu livro: adam.chlipala.net/cpdt/html/Universes.html , e menciona algumas restrições à eliminação, mas isso também é obscuro para mim.
Blaisorblade
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UMAxBxB
Ah obrigada! Também vejo como a impredicatividade acima corresponde à do ZFC (embora o mapeamento que estou usando seja provavelmente ingênuo). Você pode adicionar o link na resposta?
Blaisorblade 26/05
Infelizmente, isso parece difícil para o Google (ou não conheço as palavras-chave corretas). O que é pior, a Wikipedia e o nLab distinguem entre "compreensão restrita" (no ZFC, en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification ) e "separação restrita / limitada" (à qual você vinculou). Consulte ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+separation . Mas toda essa terminologia parece um mal-entendido esperando para acontecer - eu costumo raciocinar que "separação ~ compreensão", como você e o autor mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=4492130 , também.
Blaisorblade 26/05
Talvez as melhores palavras-chave para esse tipo de discussão sejam "Teoria dos Conjuntos Construtivos", veja, por exemplo , a wikipedia , ou este artigo muito bom de Rathjen.
C26