Quais

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A famosa Imagem do Mundo de Neil Immerman é a seguinte (clique para ampliar):

                                       

Sua classe "Verdadeiramente viável" não inclui nenhuma outra classe; minha pergunta é então:

O que é um problema de AC 0 considerado não prático e por quê?

Michaël Cadilhac
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Talvez um problema que exija circuitos de profundidade 10 ^ {10 ^ 100}?
Tsuyoshi Ito
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@ Ross: Acho que não, porque ele não mencionou o “mundo real” e perguntou “por que”; Penso que o meu comentário anterior responde pelo menos à parte do "porquê". No entanto, é certo que não tenho um exemplo de problemas "naturais" que estão em AC0 e exigem circuitos de profundidade 10 ^ {10 ^ 100}.
Tsuyoshi Ito
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Existem inúmeros problemas interessantes do mundo real que poderiam ser resolvidos em tempo e espaço constantes (em praticamente qualquer modelo de computação), mas as pessoas agora têm idéia de como resolvê-los na prática. Exemplos extremos estão computando certas constantes; poderíamos codificar a resposta certa (por exemplo, 0 ou 1), mas ainda não sabemos a resposta.
Jukka Suomela
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Jukka: essas são instâncias de problemas. As equações diofantinas (como as de Fermat) são indecidíveis como classe, mesmo que instâncias individuais que decidimos realmente tenham circuitos de profundidade constantes.
András Salamon
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@ András: Se você prefere problemas de decisão com infinitas instâncias "sim" e "não": Seja composto por todos os números pares e x , ondeLx se o jogador branco tem uma estratégia vencedora no xadrez e de outra forma x = 3 . Trivialmente, existe uma família muito simples de circuitos que decide L , mas eu ainda diria que é "impraticável". Não porque o circuito seria enorme, mas porqueprojetaro circuito seria um enorme esforço computacional ... Cheating -?)x=1x=3L
Jukka Suomela

Respostas:

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Se você deseja um exemplo de uma função AC 0 que requer profundidade e não pode ser calculada por circuitos AC 0 de profundidade dd , tente as funções Sipser S d , n . O sobrescrito d é a profundidade necessária para umcircuitoAC0 detamanho polinomial. Com a profundidade d - 1 , o circuito precisaria exponencialmente de muitos portões.d-1 1Sd,ndd-1 1

Portanto, calcular para d = 10 10 100 não seria "verdadeiramente viável".Sd,nd=1010100

EDIT: Sua pergunta também pergunta por que isso não seria viável. Eu acho que a razão é que é mais do que o número de átomos no universo visível.1010100

Robin Kothari
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Isso é ótimo, obrigado! Talvez você possa adicionar uma definição informal das funções do Sipser? Eu não sabia sobre esse nome.
Michaël Cadilhac
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@ Michaël: Infelizmente não tenho uma boa definição intuitiva para as funções do Sipser. A idéia é fazer uma função de quantificadores d de modo que nenhum circuito d-1 de profundidade possa computá-lo. Então, queremos que os quantificadores d quantifiquem sobre um número muito grande de variáveis. Há um belo artigo de Iddo Tzameret, intitulado "Separação de circuitos de profundidade constante usando funções Sipser de Håstad" ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ) que define as funções formalmente na página 7.
Robin Kothari
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Toda essa hierarquia é intencionalmente robusta sob alterações polinomiais do tamanho da entrada. Qualquer classe nele pode, portanto, conter funções cuja complexidade é, digamos n ^ {1000000000}, que seria teoricamente "viável", mas certamente não é praticamente isso. Estes, no entanto, provavelmente serão problemas muito artificiais. Em particular, por um argumento de contagem, existe uma família de fórmula DNF (= AC ^ 0 profundidade 2 circuitos) de tamanho n ^ 1000000 que nenhum algoritmo cujo tempo de execução seja menor que n ^ 999999 pode calcular. (Em um ambiente uniforme, esperamos algo semelhante, mas não podemos provar isso.)

Noam
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O problema de parada quando a entrada é representada em unário está em AC ^ 0 e, no entanto, é bastante inviável na realidade. Não sei se foi isso que você quis dizer, mas poderia ser o que Immerman quis dizer.

Elad
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Eu acho que as classes no diagrama são definidas com alguma noção de uniformidade? Caso contrário, a direção ascendente não representaria contenção, pois P não contém AC ^ 0 não uniforme.
Robin Kothari
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UMAC0 0{0 0,1 1}{0 0,mumax;X,BEuT,,=}X
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Ponto bem tomado. Como alternativa, seguindo Erdos, pode-se sugerir o problema de que, para qualquer entrada, gera o número de Ramsey para seis vermelhos e seis azuis.
Elad