Problema do rolo de matriz

Edit: Eu acho que o espírito da pergunta era bom, mas precisa ser melhorado. As suposições feitas para o sorteio fizeram com que essa pergunta fosse trivial, e a rolagem do dado ainda não está definida com precisão suficiente.

Quais são as suposições razoáveis ​​que podemos fazer sobre uma rolagem de dados que tornam a questão tratável, mas não trivial? O melhor lugar para qualquer discussão adicional é provavelmente no chat.

Esta pergunta é inspirada e intimamente relacionada ao problema Super Mario Galaxy (SMG) .

Suponha que Mario esteja andando na superfície de um planeta. Se ele começar a andar de um local conhecido, em uma direção fixa, por uma distância predeterminada, com que rapidez podemos determinar onde ele irá parar?

Como primeira passagem, gostaríamos de simplificar a pergunta o máximo possível.

Questão 1

Suponha que comecemos com uma moeda voltada para cima, jogue-a com algum torque inicial e pegue-a novamente após o tempo . Com que rapidez podemos determinar se a moeda vai cair sobre cara ou coroa?$T$$t$

Para ser mais preciso, uma moeda é um cilindro que tem uma altura quase 0 (desprezível em comparação com seu raio). A moeda girará com velocidade angular constante em um ângulo fixo por um período fixo de tempo. No final desse período, congelamos tempo e espaço e examinamos a posição da moeda. É isso que significa "pegar" a moeda. Existem três possibilidades: a moeda é exatamente vertical, com a borda fina apontando precisamente para cima. Por enquanto, ignoramos essa possibilidade. Assim, se você olhar para a moeda de cima, poderá ver o lado da cara ou o lado da coroa. Qualquer lado que é visível de cima neste instante é o valor do sorteio.

O torque inicial e o período de tempo devem ser análogos a Mario andando em uma direção fixa por uma distância predeterminada. A diferença é que, em vez de caminharmos pela superfície do polítopo por alguma distância, deixamos que ele gire livremente no espaço por um número fixo de radianos.

Pergunta 0

Se a moeda gira em torno de um eixo fixo, o valor do sorteio (o lado da moeda visto de cima) é periódico? Como defini o problema acima, a moeda necessariamente gira em torno de um eixo fixo ou pode girar de forma mais imprevisível?

Como no problema SMG, gostaríamos de fazer algo mais inteligente do que "andar" explicitamente em cada face à medida que a moeda é lançada. Nesta versão bastante simplificada do problema, acredito que isso seja possível, porque o lançamento da moeda deve ser periódico.

Na segunda questão, consideramos uma restrição menos trivial do problema original.

Questão 2

Suponha que rolemos um dado de face n de uma dada posição inicial com um dado torque inicial , com que rapidez podemos determinar qual será o valor resultante do dado?$s$$T$

Temos que fazer algumas suposições simplificadoras sobre o dado, caso contrário, isso se tornará mais um problema de modelagem física. Por enquanto, vamos supor que rolemos o dado como jogaríamos uma moeda: jogamos, dando-lhe uma rotação inicial e, depois de um curto período de tempo, capturá-lo novamente, e qualquer lado do lado que estiver virado para cima é o valor do sorteio.

A versão não ponderada do problema do rolo de matriz é uma restrição do problema SMG, na medida em que a matriz deve ser um pólipo regular, enquanto o planeta em que Mario caminha pode ser qualquer polítopo convexo . A restrição a politopos regulares facilita o problema?$P$

Questão 3

Mesmo para um dado regular, não sei se a sequência de faces que estão voltadas para cima será periódica, mas podemos aproximar o rolo de dados por uma sequência periódica e, assim, obter uma "melhor estimativa" do resultado mais rapidamente do que podíamos resolver o problema original? Penso que a resposta é claramente sim, mas qual é o compromisso entre a qualidade da nossa estimativa e a melhoria no tempo de execução?

Pergunta 4

Agora, suponha que o dado seja ponderado, de modo que sua velocidade dependa da face atual. Na terminologia do problema original do SMG , isso significa que a velocidade com a qual Mario caminha depende da face em que ele está atualmente. Talvez algumas partes do planeta tenham um terreno mais áspero do que outras.

Antes de tudo, acho que você provavelmente quer dizer impulso angular e não torque. (Você pode considerar o impulso como o efeito total de um torque aplicado em um curto período de tempo.) Se você negligenciar a resistência ao ar, etc., o movimento de qualquer corpo rígido (e em particular uma moeda ou um cubo) no quadro COM é muito grande. simples - apenas gira com uma velocidade angular constante.

$\omega t$$-\omega t$

Eu não diria que esse problema é um bom modelo para o problema SMG porque no SMG você tem um ponto em movimento com velocidade constante na superfície, enquanto aqui todo o corpo está girando com uma velocidade angular constante, o que torna esse problema muito mais simples .