Condição de Transversalidade no modelo de crescimento neoclássico

No modelo de crescimento neoclássico, existe a seguinte condição de transversalidade:

k t + 1

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ $k_{t+1}$$t$

Minhas perguntas são:

1. Como derivamos essa condição?

2. Por que exigimos isso, se queremos descartar caminhos sem acúmulo de dívida?

3. Por que os multiplicadores de Lagrange $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ o valor descontado do capital atual?

A condição de transversalidade pode ser mais facilmente entendida se partirmos de um problema com horizonte finito.

Na versão standard, o nosso objectivo é assunto para com fornecido. O Lagrangiano associado (com multiplicadores , e ) é Os FOCs são f ( k t ) - c t - k t +

$$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$$ k0λtμtωtmax { c t , k t + 1 , λ t , μ t , ω t } T t = 0 T ∑ t = 0 βtu(ct)+λt(f(kt)-ct-k $$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$$ $k_0$$\lambda_t$$\mu_t$$\omega_t$c t $$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$$ t=0,…,T λ t ( f ( k t ) - c t - k t + 1 $$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$$ com as condições de folga complementares de Kuhn-Tucker: para , Como a restrição de recurso deve ser vinculativa em todos os períodos, ou seja, para todos os , segue-se que no último período , , .$t=0,\dots,T$ λt>0tTωT=λT>0kT+1= $$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$$ $\lambda_t>0$$t$$T$$\omega_T=\lambda_T>0$$k_{T+1}=0$

Normalmente assumimos que para todos os (a condição Inada), e isso implica para todos os . Portanto, o FOC de consumo se torna t μ t = 0 t β t u ′ ( c t ) = λ $c_t>0$$t$$\mu_t=0$$t$

$$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$$

Observando as condições e no último período , obtemos Estendendo isso para o horizonte infinito, obtemos a condição de transversalidade ( 2 ) ( 3 ) T β T u ′ ( c T ) k T + 1 = 0 lim T → ∞ β T u ′ ( c T ) k T + 1 = $(1)$ $(2)$$(3)$$T$

$$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

A intuição da condição de transversalidade é em parte que "não há economia no último período". Mas como não há "período final" em um ambiente de horizonte infinito, assumimos o limite à medida que o tempo vai para o infinito.

Na minha opinião, a melhor derivação é pela lógica. Pense da seguinte maneira: se a única coisa que estamos dizendo à família é maximizar sua utilidade, o comportamento ideal seria apenas fazer dívidas infinitas e consumir infinitamente. Esta não é uma solução sensata. Portanto, precisamos de outra condição de otimização. Isso deve responder à pergunta 2.

Em um cenário de horizonte finito, a viabilidade seria alcançada se a dívida tivesse que ser paga até o último período. Isso não é possível em uma configuração de horizonte infinito. No entanto, "excluir a acumulação de dívida", como você sugere, é uma condição muito estrita (a condição de transversalidade permite a dívida!).

Para responder à pergunta 3, vejamos o termo . Representa o ganho (marginal) de utilidade (em utilidades de valor presente) de mudar unidades de capital para o período t e consumi-las. Se esse ganho de utilidade fosse positivo no infinito, poderíamos aumentar a utilidade geral consumindo mais no "período infinito"; portanto, nosso caminho de capital não seria o ideal. k t + $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$$k_{t+1}$

Para a pergunta 1: para derivar essa condição, você pode criar o argumento lógico que acabei de apresentar, mostrando que sem a condição de transversalidade mantida, o caminho do capital não é o ideal ou, para uma prova matemática, você pode verificar, por exemplo, Pelas notas de Krusell (embora seja bastante difícil de entender)