Frequências negativas: o que é isso?

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Eu sei que quando a frequência é 0, a tensão será pura CC. Mas no DSP e na Comunicação Digital, eu vi menções de frequências negativas que eu não entendo direito. Por exemplo, como a faixa de frequência. Como a frequência pode se tornar negativa? f 0f0f0

0xakhil
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Frequência é uma espécie de conceito modular. Ao falar sobre frequências negativas, não está mais se referindo à taxa de mudança (que pode ser pensada como o valor absoluto), mas muitas vezes uma direção está implícita como resultado do sinal. Por exemplo, uma roda girando para trás pode ter um número negativo de rotações por segundo, mas a roda está girando na mesma "frequência" como se estivesse avançando. Não tenho certeza se essa analogia valeria para tudo, já que eu dificilmente sou um especialista em DSP, mas acho que é uma boa maneira de pensar sobre isso.
NickHalden
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Isso pode ser importante na prática quando você tiver mais de uma fase, por exemplo, para motores.
starblue

Respostas:

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A derivação de

cos(ωt)=12(ejωt+ejωt)

é tudo muito bom e tal (obrigado, Mark), mas não é muito intuitivo.
Um seno pode ser apresentado no plano complexo como um vetor rotativo:

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Você pode ver como o vetor consiste em uma parte real e uma imaginária. Mas o que você vê quando assiste ao sinal no seu osciloscópio é um sinal real; então, como você pode se livrar da parte imaginária, de modo que o vetor permaneça no eixo x, aumentando e diminuindo? A solução é adicionar uma imagem espelhada do vetor rotativo, girando no sentido horário em vez de no sentido anti-horário.

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As partes imaginárias têm a mesma magnitude, mas sinais opostos; portanto, quando você adiciona os dois vetores, as partes imaginárias se cancelam, deixando um sinal puramente real.
Se a rotação no sentido anti-horário representar frequência positiva, a rotação no sentido horário deverá representar frequência negativa.

stevenvh
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Nunca fui fã da abordagem fasorial gráfica, mas de cada um. Você tem seu sentido horário / anti-horário para trás, porém, no sentido anti-horário é a 'frequência positiva'.
Mark
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@JGord, produto-to-sum: cos(x) * cos(y) = 0.5 * cos(x - y) + 0.5 * cos(x + y). Eu conspirou 0.5 * cos(99*t) + 0.5 * cos(101*t). WRT para processar o sinal, o espectro de um cosseno de 1 Hz é duas funções delta a +/- 1 Hz com peso 0,5. Multiplicação no tempo é convolução em frequência, e convolução com um delta é uma mudança. Quando modulados por uma portadora de 100 Hz, os deltas em +/- 1 Hz passam para 99, 101 Hz e -99, -101 Hz, cada um com magnitude 0,25. São 4 exponenciais complexas ou 2 cossenos.
Eryk Sun
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@Jordan seu correto, são apenas duas ondas multiplicadas juntas que podem ser explicadas completamente no domínio do tempo (real). Onde a frequência negativa entra é que, se você modelar essa multiplicação usando uma representação de domínio complexa desses sinais, poderá pensar nisso apenas alterando a representação complexa da onda de 1 Hz na frequência, mantendo seus componentes de frequência positivos e negativos. Uma vez que você se sinta confortável no domínio complexo, esse é um cálculo muito mais simples do que no domínio do tempo, como mostra a matemática que o @eryksun forneceu.
Mark
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@JGord - enquanto sobrepostas e multiplicadas (moduladas por AM) são parecidas, você pode diferenciá-las facilmente ao olhar para o envelope positivo e negativo. Quando sobrepostos, os envelopes estão em fase, quando multiplicados, o envelope negativo é uma imagem espelhada do positivo.
stevenvh
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@JGord - Desculpe, eu esqueci o fator de 2*pi. Eu conspirou 0.5 * cos(2*pi*99*t) + 0.5 * cos(2*pi*101*t). O envelope de 1 Hz emerge da soma dos componentes de frequência positiva e negativa deslocados (-1 + 100 e 1 + 100).
Eryk Sun
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Na verdade, não pode.

Uma resposta completa levaria um livro inteiro, mas a resposta básica é:

ejωt

Isso leva à fórmula de Euler:

ejωt=cos(wt)+jsin(ωt)

O que leva ao seu inverso:

cos(ωt)=12(ejωt+ejωt)

O que implica que tanto a frequência positiva quanto a negativa estejam presentes, e é aí que ela aparece na discussão do processamento de sinais.

Marca
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Mas deve-se afirmar claramente que "frequências negativas" não existem na realidade. No entanto, sua introdução simplifica muitas manipulações matemáticas.
LvW 22/07
Revirei a última edição. O que quero dizer aqui é que a frequência negativa não existe na "realidade", como no "mundo físico real", nada a ver com os sinusóides "com valor real".
Mark
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Do jeito que eu vejo:

eiωt

sinusóide complexo

Também pode ser desenhado de maneira menos intuitiva assim (lado esquerdo) e possui um espectro unilateral como este (lado direito):

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Freqüência negativa significa apenas que a hélice está girando na direção oposta, e o espectro é uma função delta no lado negativo do eixo da frequência.

Se você adicionar um sinusóide complexo de frequência positiva com uma da mesma frequência, porém negativa, as partes imaginárias em rotação inversa cancelam e produzem uma onda senoidal real.

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Nesse caso, não faz sentido falar de uma onda senoidal com frequência negativa, pois uma onda senoidal contém freqüências positivas e negativas.

(Eu realmente gostaria de fazer melhores ilustrações disso, em vez de copiar aquelas antigas e de baixa qualidade, mas tentei e não é fácil. Acho que o diagrama 3D dos espectros acima está realmente errado. as funções devem ser paralelas ao plano real / imaginário e perpendiculares ao eixo da frequência.)

endólito
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Hum. Essa terceira dimensão não me ajudou.
22411 stevenvh
@stevenvh: Eu reformulada-lo em DSP.se: dsp.stackexchange.com/a/449/29
endolith