O livro está errado sobre o critério de amostragem de Nyquist?

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A declaração a seguir de um livro está errada?

insira a descrição da imagem aqui

Eu pensei que amostrar com o dobro do componente de frequência mais alta do sinal seria adequado para recuperar completamente o sinal. Mas acima disso, diz que a amostragem duas vezes cria uma onda semelhante a um dente de serra. O livro está errado?

atmnt
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Para recuperar completamente o sinal é a frase-chave. Nyquist não diz que você pode conectar as amostras com uma linha reta e obter o sinal original, mas que as informações necessárias para recuperar o sinal estão lá. Portanto, o livro está certo sobre a aparência do sinal quando você conecta os pontos, e Nyquist está certo sobre o que você pode recuperar das amostras.
John D
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Tecnicamente, uma frequência de amostragem de exatamente 2x da entrada não permite reconstruir o sinal original, a menos que você também saiba que está amostrando nos picos / vales. Um pouco mais rápido é necessário na teoria (e significativamente mais rápido na prática).
Justin
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Nyquist menciona especificamente que o sinal é limitado à banda. A banda que limita a entrada é frequentemente mencionada, mas a banda que limita a saída não é frequentemente mencionada. Se você limitar a onda do triângulo ao seu sinal original, receberá uma onda senoidal de volta.
vini_i
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Se você contar os pontinhos que denotam amostragem, a taxa de amostragem será reduzida por um fator de dois em cada um desses diagramas - a amostragem será de 2x, 4x e 8x, respectivamente.
TimWescott
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@ sidA30 O procedimento correto é esperar até que você tenha tempo para escrever uma resposta, e não apenas quebrar a política de acordo com sua conveniência.
pipe

Respostas:

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Eu pensei que amostrar com o dobro do componente de frequência mais alta do sinal seria adequado para recuperar completamente o sinal. Mas acima disso, diz que a amostragem duas vezes cria uma onda semelhante a um dente de serra. O livro está errado?

O livro está errado, mas não pela razão que você pensa. Se você olhar de soslaio para os pontos que indicam amostras, está amostrando duas vezes a frequência que diz.

Então, primeiro, você deve desenhar alguns sinais e fazer uma amostra deles (ou usar um pacote de matemática, se não estiver interessado em lápis e papel).

Segundo, o teorema de Nyquist diz que é teoricamente possível reconstruir um sinal se você já sabe que o espectro do conteúdo do sinal é estritamente menor que 1/2 da taxa de amostragem.

Você reconstrói o sinal filtrando em passa-baixa. Antes de filtrar, o sinal pode ficar distorcido, então você precisa saber o que está vendo para ver se o resultado pode parecer bom. Além disso, quanto mais próximo o espectro do seu conteúdo de sinal estiver do limite de Nyquist, mais nítido será o ponto de corte nos filtros anti-alias e de reconstrução. Isso é bom em teoria, mas, na prática, a resposta de um filtro no domínio do tempo se prolonga mais ou menos na proporção de quão acentuadamente ele faz a transição de sua banda passante para sua banda de parada. Então, em geral, se você puder, você experimenta bem acima de Nyquist.

Aqui está uma foto que acompanha o que seu livro deveria ter dito.

Caso A: uma amostra por ciclo (amostras tornadas óbvias)

Caso B: duas amostras por ciclo, aterrissando nas interseções - observe que essa é a mesma saída que uma amostra por caixa de ciclo, mas apenas porque eu amostramos a primeira nas interseções.

Caso C: Novamente, duas amostras por ciclo, mas desta vez nos extremos. Se você amostrar exatamente o dobro da frequência do componente do sinal, não poderá reconstruir. Em teoria, você poderia obter amostras um pouco mais baixas, mas seria necessário um filtro com uma resposta de impulso que abranja o resultado suficiente para que você possa reconstruir.

Caso D: Amostragem em 4x a frequência do sinal. Se você conectar os pontos, obtém uma onda triangular, mas não é correto fazê-lo - no tempo amostrado, as amostras existem apenas "nos pontos". Observe que se você colocar isso em um filtro de reconstrução decente, receberá uma onda senoidal de volta e , se alterar a fase de sua amostragem, a saída será alterada igualmente na fase, mas sua amplitude não mudará.

amostragem corrigida

TimWescott
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@ThePhoton Conto 2, 4, 8 amostras por ciclo.
jpa
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Como um adendo ao que o teorema de Nyquist diz teoricamente, ele também pressupõe que você tenha um período infinitamente longo de dados para amostrar. No exemplo "dente de serra", o livro trapaceia ao desenhar um sinal que possui componentes de frequência mais alta. Se você teve uma série infinita desses padrões alto / baixo / alto / baixo, o único sinal que pode gerar para sempre sem um componente de frequência mais alta será a onda senoidal.
Cort Ammon - Restabelece Monica
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Você quis dizer que devemos provar acima de Nyquist?
Ronan Paixão
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@ThePhoton Se você olhar mais de perto o sinal da fonte, poderá ver pontos muito fracos, o que significa 2 4 8, talvez seja necessário ficar mais ou mais perto do monitor para ver todos os pontos no último sinal
Ferrybig
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@ RonanPaixão Sim, em geral você deseja obter uma amostra acima da taxa Nyquist. Existe uma desvantagem - a amostragem rápida é cara em termos de hardware de aquisição e armazenamento de memória, mas à medida que você faz uma amostragem mais lenta, os filtros anti-aliasing e de reconstrução necessários ficam mais caros. Então, você medita, pensa e faz grandes planilhas e decide - e cinco anos depois a tecnologia avançou a ponto de sua "melhor" solução parecer irremediavelmente errada.
TimWescott
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A figura B está extremamente errada. Ele contém cantos muito afiados no sinal de saída. Cantos muito afiados são iguais a frequências muito altas, muito mais altas que a frequência da amostra.

Para atender aos teoremas da amostra de Nyquist, é necessário filtrar com baixa frequência o sinal reconstruído. Após a filtragem passa-baixo, o sinal B se parece com o sinal de entrada, não como um triângulo (como todos os cantos agudos não podem passar pelo filtro de passagem baixa).

Para ser exato, você precisa passar baixo o sinal de entrada e o sinal de saída. O sinal de entrada precisa ser filtrado com passa-baixo até a metade da frequência da amostra para não "dobrar" as frequências mais altas.

Infelizmente, é uma deturpação comum de como a amostragem funciona. Uma descrição mais correta usará a função sinc para reconstrução (eu recomendo uma pesquisa por função sinc).

Em aplicações do mundo real, é impossível ter um filtro passa-baixo "perfeito" (passando todas as frequências abaixo e bloqueando todas acima). Isso significa que você normalmente amostraria com uma frequência pelo menos 2,2 vezes a frequência máxima que deseja reproduzir (exemplo: qualidade do CD amostrada em 44,1 kHz, a fim de permitir uma frequência máxima de 20 kHz). Mesmo essa diferença dificultaria a criação de filtros analógicos - a maioria das aplicações do mundo real "exagera", assim como o filtro passa-baixo parcialmente na área digital.

ghellquist
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Para ser justo, você está interpretando os gráficos de uma maneira diferente da apresentada - não há alegação de que sejam uma "reconstrução", apenas que sejam a saída digitalizada do ADC. Conectar os pontos às linhas é uma tentação e um recurso comum dos sistemas que representam minimamente os dados sem tentar interpretá- los.
Chris Stratton
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Eu concordo com a tentação. Muitas vezes, embora eu o veja descrito como etapas, a maioria dos programas de software mostra escadas quando ampliadas. O problema é quando as pessoas começam a interpretar as linhas (ou escadas) como o verdadeiro significado do sinal amostrado. Na maioria das vezes, as amostras serão reproduzidas mais tarde.
Ghellquist
A pergunta mostra claramente a entrada de monofreqüência. Aliasing não é o ponto da questão.
Scott Seidman
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O teorema da amostragem afirma que o sinal pode ser perfeitamente reconstruído se a frequência de amostragem for estritamente maior que o conteúdo de frequência mais alta do sinal. Mas essa reconstrução é baseada na inserção de pulsos sinc (infinitos) em cada amostra. Do ponto de vista teórico, esse é um resultado muito importante, mas, na prática, impossível de alcançar exatamente. O que é descrito na página do livro é um método de reconstrução baseado no desenho de linhas retas entre as amostras, o que é algo completamente diferente. Então, eu diria que o livro está correto, mas não tem nada a ver com o teorema da amostragem.

StefanH
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Não é bem assim, "estritamente maior que o dobro da largura de banda" é a formulação usual, e a diferença é importante (é por isso que a subamostragem como um meio de reduzir a conversão de RF funciona).
Dan Mills
Sim, mas para explicar o teorema da amostragem com relação à pergunta, eu ainda usaria a frequência mais alta. A questão é sobre a amostragem de um seno puro e, em seguida, pode ser confuso introduzir a largura de banda.
275 StefanH
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Um artigo muito interessante é Unser: Sampling - 50 anos depois de Shannon . Seu problema surge do fato de que sinais sinusoidais puros e infinitos não são cobertos pelo teorema da amostra de Shannon. O teorema aplicável a sinais periódicos é o anterior teorema de amostragem de Nyquist.


O teorema de amostragem de Shannon se aplica a funções que podem ser representadas como

x(t)=WWX(f)ei2πftdf

onde X é uma função quadrado-integrável. Então este sinal pode ser representado exatamente a partir de amostras discretas como

x(t)=k=x(kT2)sin(πW(tkT2))πW(tkT2)

T=1W1t

Uma função senoidal pura não está contida nessa classe, pois sua transformação de Fourier é composta de distribuições Dirac-delta.


O teorema da amostragem Nyquist anterior afirma (ou reinterpreta uma percepção anterior) que, se o sinal for periódico com o período T e a frequência mais alta W = N / T , será um polinômio trigonométrico

x(t)=n=NNXnei2πnTt

com coeficientes 2N + 1 (não triviais) e esses coeficientes podem ser reconstruídos (por álgebra linear) a partir de amostras 2N + 1 no período.

O caso de uma função senoidal pura se enquadra nessa classe. Promete reconstrução perfeita se amostras 2N + 1 ao longo de um tempo NT forem coletadas.

Lutz Lehmann
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O que foi compartilhado no livro não diz nada sobre o "Critério de amostragem de Nyquist" - trata-se apenas de fazer amostragem pontual de uma onda senoidal com um ADC hipotético e depois construir (implicitamente) um sinal de saída usando um (não mencionado) DAC simples que executa uma interpolação linear entre os valores da amostra.

Dado esse contexto, a declaração da tese da 'FIGURA 6.10' é geralmente correta e bem demonstrada.

À medida que a frequência de amostragem do ADC aumenta, a fidelidade do sinal digitalizado melhora.

Se você quiser falar sobre a fidelidade de uma reconstrução idealizada , isso é uma questão totalmente diferente. Qualquer discussão sobre a taxa de Nyquist implica o uso de interpolação sincera que, novamente, não é mencionada na figura mostrada.


A falha real nesta figura é a ideia de que uma amostra pontual é um conceito significativo em engenharia. Na prática, um ADC será conectado a um componente do sensor que funciona acumulando um sinal de entrada do mundo real durante algum período de tempo.


É engraçado, no entanto, esse número esteja aparentemente errado (menos de um fator de dois) sobre as frequências de amostragem específicas mostradas nos diagramas - embora a "Saída" mostrada seja afetada apenas por isso no caso de 'C'.


Usando a declaração citada acima, encontrei um diagrama estranhamente semelhante em "Uma abordagem prática ao monitoramento intra-operatório neurofisiológico" em uma discussão sobre o processamento de formas de onda de EEG. Pelo que vale a pena, essa discussão inclui o seguinte:

O teorema que descreve a frequência mínima de amostragem necessária para um ADC representar fielmente um sinal analógico é conhecido como teorema de Nyquist. Ele afirma que a frequência de amostragem de um ADC deve ser maior que o dobro da do componente de frequência mais rápida de uma forma de onda.

nobar
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... algum período de tempo e / ou espaço - ao traduzir fenômenos físicos em amostras digitais. De forma grosseira, sempre haverá um filtro passa-baixo inerente.
No4
Algo que me deparei com esse endereço do filtro passa-baixas inerente: engadget.com/2019/05/04/…
nobar
Um ponto que eu estou entendendo é que uma reconstrução perfeita de um sinal físico é basicamente impossível (no caso geral), e que uma reconstrução da melhor maneira possível deve levar em conta a filtragem passa-baixas eficaz que é inerente ao físico ao digital conversão.
Nobar
Este vídeo (compartilhado nos comentários da pergunta) perde alguma credibilidade às 8: 17 quando ele diz que os pixels da imagem 2D são "conceitualmente, pontos infinitamente pequenos". Ignora muitos detalhes sobre como as amostras de imagem são realmente capturadas - e quais informações elas representam.
Nobar
... Embora seja verdade que as amostras de pixels digitais sejam capturadas e armazenadas como valores discretos na representação do tempo / espaço - isso não significa que sejam "pontos infinitamente pequenos".
Nobar