O livro está errado sobre o critério de amostragem de Nyquist?

A declaração a seguir de um livro está errada?

Eu pensei que amostrar com o dobro do componente de frequência mais alta do sinal seria adequado para recuperar completamente o sinal. Mas acima disso, diz que a amostragem duas vezes cria uma onda semelhante a um dente de serra. O livro está errado?

Eu pensei que amostrar com o dobro do componente de frequência mais alta do sinal seria adequado para recuperar completamente o sinal. Mas acima disso, diz que a amostragem duas vezes cria uma onda semelhante a um dente de serra. O livro está errado?

O livro está errado, mas não pela razão que você pensa. Se você olhar de soslaio para os pontos que indicam amostras, está amostrando duas vezes a frequência que diz.

Então, primeiro, você deve desenhar alguns sinais e fazer uma amostra deles (ou usar um pacote de matemática, se não estiver interessado em lápis e papel).

Segundo, o teorema de Nyquist diz que é teoricamente possível reconstruir um sinal se você já sabe que o espectro do conteúdo do sinal é estritamente menor que 1/2 da taxa de amostragem.

Você reconstrói o sinal filtrando em passa-baixa. Antes de filtrar, o sinal pode ficar distorcido, então você precisa saber o que está vendo para ver se o resultado pode parecer bom. Além disso, quanto mais próximo o espectro do seu conteúdo de sinal estiver do limite de Nyquist, mais nítido será o ponto de corte nos filtros anti-alias e de reconstrução. Isso é bom em teoria, mas, na prática, a resposta de um filtro no domínio do tempo se prolonga mais ou menos na proporção de quão acentuadamente ele faz a transição de sua banda passante para sua banda de parada. Então, em geral, se você puder, você experimenta bem acima de Nyquist.

Aqui está uma foto que acompanha o que seu livro deveria ter dito.

Caso A: uma amostra por ciclo (amostras tornadas óbvias)

Caso B: duas amostras por ciclo, aterrissando nas interseções - observe que essa é a mesma saída que uma amostra por caixa de ciclo, mas apenas porque eu amostramos a primeira nas interseções.

Caso C: Novamente, duas amostras por ciclo, mas desta vez nos extremos. Se você amostrar exatamente o dobro da frequência do componente do sinal, não poderá reconstruir. Em teoria, você poderia obter amostras um pouco mais baixas, mas seria necessário um filtro com uma resposta de impulso que abranja o resultado suficiente para que você possa reconstruir.

Caso D: Amostragem em 4x a frequência do sinal. Se você conectar os pontos, obtém uma onda triangular, mas não é correto fazê-lo - no tempo amostrado, as amostras existem apenas "nos pontos". Observe que se você colocar isso em um filtro de reconstrução decente, receberá uma onda senoidal de volta e , se alterar a fase de sua amostragem, a saída será alterada igualmente na fase, mas sua amplitude não mudará.

A figura B está extremamente errada. Ele contém cantos muito afiados no sinal de saída. Cantos muito afiados são iguais a frequências muito altas, muito mais altas que a frequência da amostra.

Para atender aos teoremas da amostra de Nyquist, é necessário filtrar com baixa frequência o sinal reconstruído. Após a filtragem passa-baixo, o sinal B se parece com o sinal de entrada, não como um triângulo (como todos os cantos agudos não podem passar pelo filtro de passagem baixa).

Para ser exato, você precisa passar baixo o sinal de entrada e o sinal de saída. O sinal de entrada precisa ser filtrado com passa-baixo até a metade da frequência da amostra para não "dobrar" as frequências mais altas.

Infelizmente, é uma deturpação comum de como a amostragem funciona. Uma descrição mais correta usará a função sinc para reconstrução (eu recomendo uma pesquisa por função sinc).

Em aplicações do mundo real, é impossível ter um filtro passa-baixo "perfeito" (passando todas as frequências abaixo e bloqueando todas acima). Isso significa que você normalmente amostraria com uma frequência pelo menos 2,2 vezes a frequência máxima que deseja reproduzir (exemplo: qualidade do CD amostrada em 44,1 kHz, a fim de permitir uma frequência máxima de 20 kHz). Mesmo essa diferença dificultaria a criação de filtros analógicos - a maioria das aplicações do mundo real "exagera", assim como o filtro passa-baixo parcialmente na área digital.

O teorema da amostragem afirma que o sinal pode ser perfeitamente reconstruído se a frequência de amostragem for estritamente maior que o conteúdo de frequência mais alta do sinal. Mas essa reconstrução é baseada na inserção de pulsos sinc (infinitos) em cada amostra. Do ponto de vista teórico, esse é um resultado muito importante, mas, na prática, impossível de alcançar exatamente. O que é descrito na página do livro é um método de reconstrução baseado no desenho de linhas retas entre as amostras, o que é algo completamente diferente. Então, eu diria que o livro está correto, mas não tem nada a ver com o teorema da amostragem.

Um artigo muito interessante é Unser: Sampling - 50 anos depois de Shannon . Seu problema surge do fato de que sinais sinusoidais puros e infinitos não são cobertos pelo teorema da amostra de Shannon. O teorema aplicável a sinais periódicos é o anterior teorema de amostragem de Nyquist.

O teorema de amostragem de Shannon se aplica a funções que podem ser representadas como

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

onde X é uma função quadrado-integrável. Então este sinal pode ser representado exatamente a partir de amostras discretas como

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Uma função senoidal pura não está contida nessa classe, pois sua transformação de Fourier é composta de distribuições Dirac-delta.

O teorema da amostragem Nyquist anterior afirma (ou reinterpreta uma percepção anterior) que, se o sinal for periódico com o período T e a frequência mais alta W = N / T , será um polinômio trigonométrico

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

com coeficientes 2N + 1 (não triviais) e esses coeficientes podem ser reconstruídos (por álgebra linear) a partir de amostras 2N + 1 no período.

O caso de uma função senoidal pura se enquadra nessa classe. Promete reconstrução perfeita se amostras 2N + 1 ao longo de um tempo NT forem coletadas.

O que foi compartilhado no livro não diz nada sobre o "Critério de amostragem de Nyquist" - trata-se apenas de fazer amostragem pontual de uma onda senoidal com um ADC hipotético e depois construir (implicitamente) um sinal de saída usando um (não mencionado) DAC simples que executa uma interpolação linear entre os valores da amostra.

Dado esse contexto, a declaração da tese da 'FIGURA 6.10' é geralmente correta e bem demonstrada.

À medida que a frequência de amostragem do ADC aumenta, a fidelidade do sinal digitalizado melhora.

Se você quiser falar sobre a fidelidade de uma reconstrução idealizada , isso é uma questão totalmente diferente. Qualquer discussão sobre a taxa de Nyquist implica o uso de interpolação sincera que, novamente, não é mencionada na figura mostrada.

A falha real nesta figura é a ideia de que uma amostra pontual é um conceito significativo em engenharia. Na prática, um ADC será conectado a um componente do sensor que funciona acumulando um sinal de entrada do mundo real durante algum período de tempo.

É engraçado, no entanto, esse número esteja aparentemente errado (menos de um fator de dois) sobre as frequências de amostragem específicas mostradas nos diagramas - embora a "Saída" mostrada seja afetada apenas por isso no caso de 'C'.

Usando a declaração citada acima, encontrei um diagrama estranhamente semelhante em "Uma abordagem prática ao monitoramento intra-operatório neurofisiológico" em uma discussão sobre o processamento de formas de onda de EEG. Pelo que vale a pena, essa discussão inclui o seguinte:

O teorema que descreve a frequência mínima de amostragem necessária para um ADC representar fielmente um sinal analógico é conhecido como teorema de Nyquist. Ele afirma que a frequência de amostragem de um ADC deve ser maior que o dobro da do componente de frequência mais rápida de uma forma de onda.