Quando é necessário ou permitido amostrar abaixo da taxa de Nyquist

Pesquisei perguntas e respostas anteriores nesta plataforma, mas nenhuma responde a essa pergunta. Um professor disse que é possível amostrar abaixo da taxa de Nyquist sob certas condições. Gostaria de saber, primeiro, se é possível fazer isso, se sim, quando?

Primeiro de tudo, vamos nos livrar do equívoco da taxa de Nyquist.

As pessoas geralmente aprendem que a frequência mínima de amostragem precisa ser duas vezes a frequência da frequência mais alta no sinal. Isso é completamente falso!

O que é verdade é que, se você tem um espectro "completo", e por completo, quero dizer que ele usa completamente todas as frequências entre a borda inferior de sua largura de banda e a borda superior de sua largura de banda, então você precisa ter a frequência de amostragem isso é pelo menos duas vezes a largura de banda do sinal.

Portanto, na imagem aqui, a frequência de amostragem precisa ser de pelo menos 2 * (Fh-Fl) para obter o espectro.

Você também deve ter em mente que, depois de fazer a amostragem, todas as informações sobre a frequência real são perdidas no sinal amostrado. É aqui que toda a história sobre a frequência de Nyquist entra em cena. Se a frequência de amostragem é o dobro da frequência mais alta do sinal, podemos assumir com segurança (como costumamos ser treinados para fazer subconscientemente) que todas as frequências no sinal amostrado estão entre zero e metade da frequência de amostragem.
Na realidade, o espectro do sinal amostrado é periódico em torno de Fs / 2 e podemos usar essa periodicidade para obter taxas de amostragem mais baixas.
Veja a seguinte imagem:
A área entre 0 e Fs / 2 é a chamada primeira zona de Nyquist. Essa é a área em que estamos fazendo a amostragem "tradicional". Em seguida, dê uma olhada na área entre os Fs / 2 e Fs. Esta é a segunda zona de Nyquist. Se houver algum sinal nessa área, seu espectro será amostrado e seu espectro será invertido, ou seja, as frequências alta e baixa serão invertidas. Em seguida, temos a terceira zona de Nyquist, entre os Fs e 3Fs / 2. Os sinais aqui, quando amostrados, parecerão que vieram da primeira zona e seu espectro será normal. O mesmo vale para todas as outras zonas, com a regra de que o espectro de zonas com números ímpares é normal e o espectro de zonas com números pares é invertido.

Agora, isso contraria as regras "tradicionais" sobre o aliasing, já que o aliasing geralmente é ensinado como um monstro do mal que acaba com seus sinais e que você precisa usar os filtros anti-aliasing low-pass para se livrar dele. Na vida real, não é assim que as coisas realmente funcionam. Os filtros anti-aliasing não podem realmente impedir o aliasing, eles apenas o reduzem ao nível em que não importa mais.
O que realmente queremos fazer é eliminar qualquer sinal forte das zonas de Nyquist que não seja de interesse e deixar passar os sinais da zona de Nyquist que são de interesse para nós. Se estamos na primeira zona, então um filtro passa-baixo é bom, mas para todas as outras zonas, precisamos de um filtro de passagem de faixa que nos permita obter os sinais úteis dessa zona e remover o lixo que não usamos. não precisa que vem das outras zonas.

Então, vamos dar uma olhada neste exemplo: Aqui temos um sinal na terceira zona Nyquist que está sendo transmitida por um filtro passa-banda. Nosso ADC precisará ter apenas a frequência de amostragem duas vezes a largura de banda do sinal para reconstruí-lo, mas sempre precisamos ter em mente que este é realmente um sinal da terceira zona, quando precisamos calcular as frequências dentro do nosso sinal. Esse procedimento geralmente é chamado de amostragem de passagem de banda ou subamostragem.

Agora, depois de toda essa exposição, responda sua pergunta quando:
Bem, vamos dar uma olhada no rádio, talvez algo no espectro de microondas, talvez WiFi. Um canal WiFi típico de estilo antigo pode ter 20 MHz de largura de banda, mas a frequência da operadora seria de cerca de 2,4 GHz. Portanto, se adotarmos nossa abordagem ingênua para amostrar diretamente o sinal, precisaríamos de um ADC de 5 GHz para ver nosso sinal, mesmo que estejamos interessados ​​apenas em 20 MHz de espectro. Um conversor analógico-digital de 5 GHz é algo muito complicado e caro, além de exigir um design muito complicado e caro. Por outro lado, um ADC de 40 MHz é algo que não é tão "mágico" quanto um ADC de 5 GHz.
É preciso ter em mente que, embora possamos teoricamente capturar sinal com um ADC de 40 MHz, precisaríamos de filtros anti-aliasing muito nítidos; portanto, na prática, não queremos realmente executar a amostragem. frequência muito próxima da largura de banda. Outra coisa que também é esquecida é que o circuito de um ADC da vida real se comporta como um filtro por si só. Os efeitos de filtragem de um ADC precisam ser levados em consideração ao fazer a amostragem de passagem de banda. Freqüentemente, existem ADCs especiais com larguras de banda muito maiores que a taxa de amostragem projetada especificamente com a amostragem de passagem de banda em mente.

Finalmente, há o outro lado da história, também chamado de sensor comprimido. Eu não sou especialista nisso, e é algo que ainda é um pouco novo, mas a idéia básica é que, se certas suposições forem cumpridas (como o espectro é escasso), podemos amostrar em frequências ainda menores que o dobro da largura de banda do sinal.

Assim, muitas pessoas, incluindo professores, estão confusas sobre o que é a taxa de Nyquist:

Taxa de Nyquist é a taxa de amostragem necessária para amostrar um sinal para evitar danificá-lo por meio de aliasing

O que isso significa é que, para sinais com valor real e amostragem com valor real, a taxa de amostragem deve ser mais de duas vezes a largura de banda do sinal analógico.

Isso significa que, com uma taxa de amostragem de 6 kHz, você pode obter uma representação de 100% de qualquer banda de 3 kHz de largura.

Isso não significa que a taxa de amostragem precise ser duas vezes a frequência mais alta no sinal. Se os seus 3 kHz, por exemplo, são a banda entre 9 kHz e 12 kHz, você não precisa amostrar a 2 · 12 kHz = 24 kHz; 6 kHz é totalmente suficiente para representar sem ambiguidade o sinal digitalmente. Você ainda precisa saber que seus 3 kHz estão centralizados em torno de 10,5 kHz, se você quiser relacioná-lo posteriormente com outros sinais, mas geralmente isso não importa.

Chamamos essa técnica de subamostragem , e ela funciona muito bem, e é uma técnica 100% padrão com muitas aplicações técnicas. Tudo o que você precisa é ter certeza de que tudo o que o seu ADC (conversor analógico-digital) vê é ilimitado em banda à metade de sua taxa de amostragem - ou seja, no exemplo acima mencionado, você deve ter certeza de que não há sinal abaixo de 9 kHz e não sinal acima de 12 kHz.

banda base complexa

Observe que isso é verdade apenas para amostragem com valor real. Se você usou itens como desmoduladores de QI (também conhecidos como misturadores de conversão direta , desmoduladores de quadratura ) para fornecer uma banda base complexa e equivalente , você obtém dois fluxos de amostras síncronas. Nesse caso, o fator 2 cai. Este é um aspecto muito importante para o rádio definido por software .

estruturas polifásicas

Se você estiver nas partes posteriores de um curso DSP, seu professor pode ter sugerido o fato de que você pode implementar coisas como reamostradores racionais, em que normalmente seria necessário fazer um upsample por um fator de M e filtrar para apagar todas as imagens. (o filtro é executado na taxa de entrada · M) e, em seguida, filtra para evitar todos os aliases (o filtro é executado na taxa de entrada · M) antes da redução da amostragem por N, com um único filtro que efetivamente é executado a 1 / N da taxa de entrada - que na verdade é sub Amostragem nyquist. Mas isso seria basicamente um dos destaques de uma palestra sobre sistemas polifásicos / multirados, e duvido que ele tenha divulgado isso em um curso para iniciantes - é muito confuso.

Nunca. Mas você precisa entender exatamente o que realmente é a "taxa Nyquist".

Nyquist afirmou que você pode reconstruir o sinal, desde que ele seja amostrado a uma taxa que é mais do que o dobro da largura de banda do sinal. Essa largura de banda pode ou não iniciar no DC, mas muitas fontes neste tópico assumem que sempre o faz e que o componente de frequência mais alta do sinal determina a taxa de Nyquist.

Por exemplo, se você possui um sinal de transmissão AM em 1 MHz, com limite de banda de ± 10 kHz, a taxa de Nyquist é 2 × 20 kHz = 40 kHz, não 2 × 1,01 MHz = 2,02 MHz.

Um professor disse que é possível amostrar abaixo da taxa de Nyquist sob certas condições.

Se tudo o que você está interessado é calcular o valor RMS de uma forma de onda, é possível fazer a amostra abaixo de nyquist: -

A forma de onda azul também é uma onda senoidal com o mesmo valor RMS que o original. O que você deve evitar é o seguinte: -

Exatamente dois sampes são capturados a cada ciclo e é impossível saber se o sinal alternativo era de fato a forma de onda vermelha ou verde.

O critério nyquist informa com que frequência você precisa amostrar para reconstruir um sinal com banda limitada. No entanto, nenhum sinal físico é limitado à banda, isso é apenas uma idealização. Outros esquemas funcionarão para amostrar outros sinais idealizados. Ao fornecer informações a priori sobre um sinal (que é limitado à banda), Nyquist explica como reconstruir o sinal inteiro a partir de algumas amostras. Se eu fornecer informações diferentes a priori, você poderá fazer melhor que nyquist. Aqui está um exemplo: meus sinais idealizados são lineares por partes. Só é necessário amostrar esses sinais em seus pontos de inflexão: muito menos amostras do que uma necessária para sinais com banda limitada. Para reconstruir todo o sinal, desenhe linhas retas entre os pontos de amostra. Você pode chamar isso de critério "Linequist". :)

Um sinal periódico pode ser amostrado usando a taxa de amostragem sub-Nyquist. Isso é bem explorado nos osciloscópios. Uma amostra é salva para cada repetição de sinal, mas em uma posição diferente do período. Precisa de 512 amostras? então são necessários 512 perions completos do sinal.

A precisão:

É fácil ver que uma onda senoidal estacionária pode ser capturada dessa maneira. Mas essas 512 amostras devem cobrir o sinal. Isso é verdade se 256º e harmônicos superiores puderem ser considerados zeros.

Às vezes, isso é intencionalmente feito, por exemplo, em um osciloscópio de amostragem (não é o mesmo que um DSO, embora alguns DSOs também estejam amostrando - mas um osciloscópio de amostragem pode ser um dispositivo totalmente analógico e eles foram construídos desde a década de 1950), para lidar com periódicos sinais com freqüência muito alta para serem econômicos para amplificar ou tratar com circuitos lineares - não existem muitos CRTs de osciloscópio (ed) que possam lidar com um sinal bruto de 1 GHz (alguns existem!), no entanto, 1 GHz foi fácil de lidar com subamostragem mesmo com a tecnologia dos anos 60. No final, todo o sistema se comporta de maneira semelhante (não idêntica) a um receptor heterodinâmico. Embora não haja LO de alta frequência de onda contínua, ainda há um componente de frequência muito alta oculto (e usado) no relógio de amostragem usado:

Obviamente, um sinal não periódico não pode ser examinado dessa maneira, e um sinal com componentes de frequência muito mais baixos adicionados pode ser completamente deturpado e / ou mal interpretado.

Eu acho que o que [rackandboneman] disse é consistente com a intenção do professor. A 'certa condição' seria que o sinal original fosse periódico.

Aqui está um código para mostrar como reconstruir o sinal original a partir de um sinal sub-amostrado. O sinal original precisa de um período de amostragem de 1/100 para reconstruir seu padrão único (embora sua frequência fundamental seja 8/100). Ao amostrar com um período de amostragem de 1,5 / 100 s, o padrão do sinal original é reconstruído quase perfeitamente com um período de amostragem de 0,5 / 100. (Em breve, o período de amostragem de 0,5 / 100 é feito a partir do período de amostragem de 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Se um sinal for amostrado na taxa S, qualquer conteúdo com frequência f será indistinguível de qualquer outro conteúdo com frequência NS + f ou NS-f para algum número inteiro N.

A adequação de uma determinada taxa de amostragem dependerá da existência de duas frequências cujo conteúdo precisaria ser distinguido, mas não pode.

Se alguém estiver preocupado apenas com sinais na faixa de 700-800Hz, a entrada será desprovida de conteúdo abaixo de 300Hz ou acima de 1200, e a presença de outros sinais não causará recorte, uma taxa de amostragem de 1000Hz seria adequada sem qualquer pré- filtragem, apesar da presença de conteúdo cuja largura de banda total é de 900Hz. O conteúdo no intervalo de 300Hz a 700Hz seria indistinguível do conteúdo no intervalo de 800Hz a 1200Hz, mas se alguém não se importar com esse conteúdo que não importaria.