Convolução com fluxo laminar RTD

Eu tenho fluxo laminar em um tubo. Considere o tubo com 0,2 m de comprimento e uma velocidade média de 0,05 m / s. A expressão analítica para minha função de transferência é: parat> =$E(t)= \frac{\tau^2}{2*t^3}$$t$ eE(t)=0parat<$\frac{\tau }{2}$$E(t)=0$ . τé o tempo médio de permanência. Nesse caso:τ= 0,2m / 0,05m / s = 4 s. Eu quero envolver isso com uma equação exponencial:E2=(1-exp(-$t < \frac {\tau }{2}$$\tau$$\tau$. Esta equação descreve a magnetização de uma partícula em um campo magnético estático.$E_2=(1-exp(\frac{-t}{2.55}))$

Quero obter a magnetização média das partículas na saída do tubo. Então, pensei em fazer o seguinte: . Eu pegaria o valor em t = 4s. Eu tenho os resultados do CFD, que fornece o seguinte: Resultado do CFD , a linha vermelha é o campo magnético e a linha verde é E o u t ( t ) . Estou interessado no valor em x = 0,2m, que é 0,7942.$E_{out}(t)=E(t)*E2(t)$$E_{out}(t)$

Meus resultados da convolução são totalmente diferentes: Resultado da convolução

O que estou fazendo de errado? Eu estou um pouco confuso. Alguém tem uma idéia de como abordar esse problema.

Cumprimentos,

Gesetzt

$$\int_0^\infty E(t)\, E2(t) \, dt$$ $$\int_{\frac{\tau}2}^\infty \left(1-e^{-t\frac{t}{k}}\right)\, \frac{\tau^2}{2\,t^3} \, dt$$ $$-\frac{\tau^2 Ei\left(-\frac{\tau}{2 k}\right)}{4 k^2} - \frac{\tau \, e^{-\frac{\tau}{2 k}}}{2 k} + e^{-\frac{\tau}{2 k}}-1$$ $Ei$

Parece que sai um pouco menos do que os resultados de CFD:

O eixo x, neste caso, é o tempo médio de permanência que deve ser proporcional ao comprimento ao longo do tubo, tornando nossos gráficos comparáveis.