Como posso converter o volume em função do tempo em massa ou mole como uma função do tempo para uma partícula de droga dissolvida?

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Recebi uma partícula esférica de droga que se dissolve por erosão superficial na corrente sanguínea. A taxa de dissolução é proporcional à área superficial exposta da partícula. Eu tenho que modelar o volume da partícula dissolvente como uma função do tempo, o que eu fiz, e eu consegui

$$ V (t) = \ left (\ dfrac {3V_0 ^ {1/3} - kt} {3} \ right) ^ 3

onde $ V_0 = V (t = 0) $, o volume inicial de partícula. Quando eu plotei usando Excel com $ V_0 = 100 $, eu obtenho uma curva descendente razoável que chega a 0 em cerca de 3 segundos.

Agora eu tenho que derivar a taxa de liberação de droga em função do tempo (g / s ou mol / s) da função de volume. Não há outra informação dada. Como eu faço isso? Por favor ajude!

chemical-engineering kazi
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Bem, você sabe a taxa de liberação de volume, e se você conhece a densidade, então você conhece a massa? Então, qual é a densidade dessa droga?
Jonathan R Swift
A densidade não é dada numericamente. Mas precisamos tomar um rho constante e derivar a função da taxa de liberação do fármaco dessa função de volume. Como eu incorporo o rho?
kazi

Respostas:

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Esta é realmente mais uma questão de cálculo do que qualquer coisa.

Essa função fornece o volume ao longo do tempo. Você está procurando a taxa de variação no volume ao longo do tempo.

Essa é a definição da derivada dessa função. Então tudo o que precisamos fazer é obter $ \ dfrac {\ partial V} {\ partial t} $ .

Para isso, definimos $ V (x) = f (g (x)) $ , Onde $ g (x) = 3V_0 ^ {1/3} −kt $ e $ f (x) = \ left (\ dfrac {g (x)} {3} \ right) ^ 3 = \ dfrac {1} {27} g (x) ^ 3 $ . Através do regra de corrente , nós sabemos isso $ \ dfrac {\ partial V} {\ t parcial} = f '(g (x)) \ cdot g' (x) $ . Portanto, temos que

$$ \ begin {alignat} {4} \ dfrac {\ partial V} {\ partial t} & amp; = & amp; & amp; \ dfrac {1} {9} (3V_0 ^ {1/3} −kt) ^ 2 \ cdot (-k) \\ & amp; = - & amp; & amp; \ dfrac {k} {9} (3V_0 ^ {1/3} −kt) ^ 2 \ end {alignat} $$

O resultado aqui é negativo (supondo um positivo $ k $ e que o resultado entre parênteses também é positivo), o que indica que o volume está caindo ao longo do tempo. Obviamente, o volume perdido é precisamente o que é liberado na corrente sanguínea. Portanto, se essa última interpretação (taxa de liberação) for mais relevante, basta remover o sinal negativo.

Wasabi
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A unidade de taxa de liberação do fármaco é g / s ou mol / s, não L / s. Então, basta remover o sinal negativo da função de volume. Eu também não tenho densidade, então não sei converter.
kazi
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@kazi se você só conhece o volume sem conhecer a densidade, você não pode converter em gramas ou mol, por definição. A densidade é o fator de conversão entre eles.
Wasabi
A densidade não é dada numericamente. Mas precisamos tomar um rho constante e derivar a função da taxa de liberação do fármaco dessa função de volume. Como eu incorporo o rho?
kazi
@kazi Estou tendo problemas para entender o que você está pedindo (sou engenheiro civil, então talvez haja uma lacuna básica de conhecimento que não conhecemos). Você quer dizer como converter essa equação em uma taxa de perda de massa adicionando uma variável $ \ rho $ que representa a densidade (desconhecida)? Se assim for, basta obter a equação e multiplicar tudo por $ \ rho $. Note que, se for possível alterar a densidade na corrente sanguínea (inferno, se eu souber!), $ \ Rho $ também será uma função do tempo.
Wasabi