Estou tentando aquecer o óleo em uma caixa retangular de aço de 1/2 polegada de espessura usando um cobertor aquecido isolado coberto nas 6 faces da caixa, as condições de trabalho da operação são de -50 Celsius, a temperatura do óleo é precisa estar em 15 graus Celsius durante a operação, então preciso determinar quanto calor / energia é necessário para o cobertor e quanto tempo levará para a temperatura do óleo mudar de -50 Celsius para 15 Celsius?

diagrama resistivo de uma face, Rb = resistência pela espessura da manta de 1 polegada, Rw = parede retangular da caixa de aço

thermodynamics heat-transfer energy thermal-conduction Paulo
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O óleo está bem misturado? Você regulará a energia do aquecedor como uma constante ou regulará a temperatura do aquecedor como uma constante?

precisa

Que período de tempo? 1 hora, 10 horas, 1 dia, 1 semana? Se você definir o tempo, isso fornecerá a energia necessária; se você especificar o tempo, fornecerá a energia necessária.

Solar Mike

Você parece estar ignorando a convecção da superfície do isolamento para o ar - isso terá um efeito importante. Isso será durante o dia ou a noite? Céu negro é muito mais frio ...

Jonathan R Swift

O prazo será calculado em uma equação sem dimensão. A convecção é considerada no lado da rede como uma resistência ao ar. Duvido que tenhamos algum interesse em radiação nessas temperaturas. O OP precisa primeiro abordar as duas questões principais de mistura e regulação de potência / temperatura. Tudo o resto é secundário.

Jeffrey J Weimer

Fundações

A equação governante para o fluxo de calor no tanque é

k \nabla^{2} T + ρ {\tilde{C}}_{p} \frac{\partial T}{\partial t} = {\hat{\dot{q}}}_{o}

$k\nabla^2 T + \rho \tilde{C}_p \frac{\partial T}{\partial t} = \hat{\dot{q}}_o$

onde temperatura, condutividade térmica, densidade e calor específico se referem ao óleo. O fluxo de calor é por unidade de volume.

-> Suponha que o óleo esteja bem misturado. Os gradientes internos desaparecem, dando

ρ {\tilde{C}}_{p} V \frac{d T}{d t} = {\dot{q}}_{o}

$\rho \tilde{C}_p V \frac{d T}{d t} = \dot{q}_o$

A equação governante para o fluxo de calor no ar é

(T_{h} - T_{a}) = {\dot{q}}_{a} R_{a}

$(T_h - T_a) = \dot{q}_a R_a$

usando as temperaturas do aquecedor e do ar, bem como a resistência térmica ao ar. Permita que também seja definido por uma equação de resistência térmica como . A potência total é . $\dot{q}_o$ $(T_h - T) = \dot{q}_o R_o$ $\dot{q}_T = \dot{q}_o + \dot{q}_a$

O sistema possui três incógnitas, , e . $T$ $T_h$ $\dot{q}_T$

Soluções

Geral

Defina , onde é a temperatura inicial do óleo. No tempo , podemos definir uma condição de contorno . Isso significa que o aquecedor tem a mesma temperatura do ar para iniciar. A opção de definir (o aquecedor igual ao óleo) é mais difícil de resolver. Podemos combinar e reescrever as primeiras equações de governo como $\Theta = (T_h - T) / (T_a - T_o) = (T_h - T) / \Delta T_{ao}$ $T_o$ $t = 0$ $\Theta = 1$ $\Theta(0) = 0$

- ρ {\tilde{C}}_{p} V \frac{d Θ}{d t} = \frac{Θ}{R_{o}} \Rightarrow - \frac{d Θ}{d τ} = Θ

$-\rho \tilde{C}_p V \frac{d \Theta}{d t} = \frac{\Theta}{R_o} \Rightarrow - \frac{d \Theta}{d \tau} = \Theta$

com . Nós encontramos a solução como $\tau = t / \rho \tilde{C}_p V R_o$

Θ = \exp (- τ)

$\Theta = \exp(-\tau)$

Isso fornece uma equação para a diferença de temperatura entre o aquecedor e o óleo em função do tempo.

Escreva as equações de resistência térmica como

{\dot{q}}_{o} R_{o} = Θ Δ T_{a o}

$\dot{q}_o R_o = \Theta \Delta T_{ao}$

{\dot{q}}_{a} R_{a} = - Φ Δ T_{a o}

$\dot{q}_a R_a = - \Phi \Delta T_{ao}$

com . A condição de contorno é que em . Terminamos com uma equação. $\Phi = (T_a - T_h) / \Delta T_{ao}$ $\Phi = 0$ $t = 0$

{\dot{q}}_{T} = (\frac{Θ}{R_{o}} - \frac{Φ}{R_{a}}) Δ T_{a o}

$\dot{q}_T = \left(\frac{\Theta}{R_o} - \frac{\Phi}{R_a}\right)\Delta T_{ao}$

Soluções

Resolva a equação para para obter versus . $\Theta = \exp(-\tau)$ $T_h - T$ $t$

Potência total constante

Resolva a equação para para obter . $\dot{q}_T$ $\Phi(\tau)$

Φ (τ) = \frac{R_{a}}{R_{o}} \exp (- τ) - \frac{R_{a} {\dot{q}}_{T}}{Δ T_{a o}}

$\Phi(\tau) = \frac{R_a}{R_o}\exp(-\tau) - \frac{R_a \dot{q}_T}{\Delta T_{ao}}$

Resolva isso para partir de . Conecte a equação para na equação para encontrar a mudança de temperatura do óleo com o tempo. $T_h(\tau)$ $T_h(\tau) = T_a - \Phi(\tau) \Delta T_{ao}$ $T_h(\tau)$ $T = T_h(\tau) - \exp(-\tau)\Delta T_{ao}$

\frac{T_{a} - T}{Δ T_{a o}} = (1 + \frac{R_{a}}{R_{o}}) \exp (- τ) - \frac{R_{a} {\dot{q}}_{T}}{Δ T_{a o}}

$\frac{T_a - T}{\Delta T_{ao}} = \left(1 + \frac{R_a}{R_o}\right)\exp(-\tau) - \frac{R_a \dot{q}_T}{\Delta T_{ao}}$

Temperatura constante do aquecedor

Resolva a equação diretamente para versus . O valor de é uma constante. Conecte e na equação para para encontrar versus . $\Theta(\tau)$ $T$ $t$ $\Phi$ $\Theta$ $\Phi$ $\dot{q}_T$ $\dot{q}_T$ $t$

Tradução para imagem

A tradução para a imagem ocorre como

R_{o} = R_{C L} + R_{w} + R_{B 1}

$R_o = R_{CL} + R_w + R_{B1}$

R_{a} = R_{C A} + R_{B 2}

$R_a = R_{CA} + R_{B2}$

T = T_{L u b r i c a n t} T_{h} = T_{s} T_{a} = T_{\infty}

$T = T_{Lubricant} \ \ \ T_h = T_s \ \ \ T_a = T_\infty$

Exemplo

Aqui está um exemplo de um gráfico de versus gerado usando um código python / Jupyter. $\frac{T_a - T}{\Delta T_{ao}}$ $\tau$

Sumário

Tome o ponto de partida para regular a temperatura do revestimento do aquecedor para obter o tempo de aquecimento desejado. Deixe a energia do aquecedor variar. A energia começa alta e diminui com o tempo (à medida que o óleo aquece). Estime a potência inicial usando valores em . Isso fornecerá uma estimativa fácil para o ponto de partida do nível de potência que você precisa quando o tempo é uma restrição. $t = 0$

Quando você começa com a potência inicial e a mantém constante, você aquece o óleo mais rapidamente. A temperatura do casaco aumentará com o tempo. Encontre o momento em que você precisa interromper ou reduzir a potência para evitar queimar o aquecedor.

Quando o tempo é crítico, é melhor isolar (aumentar ) do que aumentar a potência. Observe que e são multiplicadores, o primeiro especialmente para uma exponencial de tempo, enquanto poder é apenas um termo aditivo. $R_a/R_o$ $(1 + R_a/R_o)$ $R_a$

Jeffrey J Weimer
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Editei isso para corrigir um erro na condição de contorno no aquecedor em t = 0 e um sinal negativo ausente na conversão da equação governante em uma forma adimensional. A solução agora carrega um sinal expressão .

\exp (- τ)

$\exp(-\tau)$

Jeffrey J Weimer

Cálculo de transferência de calor condutivo ao longo do tempo

Respostas:

Fundações

Soluções

Geral

Soluções

Potência total constante

Temperatura constante do aquecedor

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Exemplo

Sumário