Cálculo de transferência de calor condutivo ao longo do tempo

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Estou tentando aquecer o óleo em uma caixa retangular de aço de 1/2 polegada de espessura usando um cobertor aquecido isolado coberto nas 6 faces da caixa, as condições de trabalho da operação são de -50 Celsius, a temperatura do óleo é precisa estar em 15 graus Celsius durante a operação, então preciso determinar quanto calor / energia é necessário para o cobertor e quanto tempo levará para a temperatura do óleo mudar de -50 Celsius para 15 Celsius?

diagrama resistivo de uma face, Rb = resistência pela espessura da manta de 1 polegada, Rw = parede retangular da caixa de aço

insira a descrição da imagem aqui

Paulo
fonte
O óleo está bem misturado? Você regulará a energia do aquecedor como uma constante ou regulará a temperatura do aquecedor como uma constante?
precisa
Que período de tempo? 1 hora, 10 horas, 1 dia, 1 semana? Se você definir o tempo, isso fornecerá a energia necessária; se você especificar o tempo, fornecerá a energia necessária.
Solar Mike
Você parece estar ignorando a convecção da superfície do isolamento para o ar - isso terá um efeito importante. Isso será durante o dia ou a noite? Céu negro é muito mais frio ...
Jonathan R Swift
O prazo será calculado em uma equação sem dimensão. A convecção é considerada no lado da rede como uma resistência ao ar. Duvido que tenhamos algum interesse em radiação nessas temperaturas. O OP precisa primeiro abordar as duas questões principais de mistura e regulação de potência / temperatura. Tudo o resto é secundário.
Jeffrey J Weimer

Respostas:

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Fundações

A equação governante para o fluxo de calor no tanque é

k2T+ρC~pTt=q˙^o

onde temperatura, condutividade térmica, densidade e calor específico se referem ao óleo. O fluxo de calor é por unidade de volume.

-> Suponha que o óleo esteja bem misturado. Os gradientes internos desaparecem, dando

ρC~pVdTdt=q˙o

A equação governante para o fluxo de calor no ar é

(ThTa)=q˙aRa

usando as temperaturas do aquecedor e do ar, bem como a resistência térmica ao ar. Permita que também seja definido por uma equação de resistência térmica como . A potência total é .q˙o(ThT)=q˙oRoq˙T=q˙o+q˙a

O sistema possui três incógnitas, , e .TThq˙T

Soluções

Geral

Defina , onde é a temperatura inicial do óleo. No tempo , podemos definir uma condição de contorno . Isso significa que o aquecedor tem a mesma temperatura do ar para iniciar. A opção de definir (o aquecedor igual ao óleo) é mais difícil de resolver. Podemos combinar e reescrever as primeiras equações de governo comoΘ=(ThT)/(TaTo)=(ThT)/ΔTaoTot=0Θ=1Θ(0)=0

ρC~pVdΘdt=ΘRodΘdτ=Θ

com . Nós encontramos a solução comoτ=t/ρC~pVRo

Θ=exp(τ)

Isso fornece uma equação para a diferença de temperatura entre o aquecedor e o óleo em função do tempo.

Escreva as equações de resistência térmica como

q˙oRo=ΘΔTao
q˙aRa=ΦΔTao

com . A condição de contorno é que em . Terminamos com uma equação.Φ=(TaTh)/ΔTaoΦ=0t=0

q˙T=(ΘRoΦRa)ΔTao

Soluções

Resolva a equação para para obter versus .Θ=exp(τ)ThTt

Potência total constante

Resolva a equação para para obter .q˙TΦ(τ)

Φ(τ)=RaRoexp(τ)Raq˙TΔTao

Resolva isso para partir de . Conecte a equação para na equação para encontrar a mudança de temperatura do óleo com o tempo.Th(τ)Th(τ)=TaΦ(τ)ΔTaoTh(τ)T=Th(τ)exp(τ)ΔTao

TaTΔTao=(1+RaRo)exp(τ)Raq˙TΔTao

Temperatura constante do aquecedor

Resolva a equação diretamente para versus . O valor de é uma constante. Conecte e na equação para para encontrar versus .Θ(τ)TtΦΘΦq˙Tq˙Tt

Tradução para imagem

A tradução para a imagem ocorre como

Ro=RCL+Rw+RB1
Ra=RCA+RB2
T=TLubricant   Th=Ts   Ta=T

Exemplo

Aqui está um exemplo de um gráfico de versus gerado usando um código python / Jupyter.TaTΔTaoτ

gráfico do perfil de temperatura

Sumário

Tome o ponto de partida para regular a temperatura do revestimento do aquecedor para obter o tempo de aquecimento desejado. Deixe a energia do aquecedor variar. A energia começa alta e diminui com o tempo (à medida que o óleo aquece). Estime a potência inicial usando valores em . Isso fornecerá uma estimativa fácil para o ponto de partida do nível de potência que você precisa quando o tempo é uma restrição.t=0

Quando você começa com a potência inicial e a mantém constante, você aquece o óleo mais rapidamente. A temperatura do casaco aumentará com o tempo. Encontre o momento em que você precisa interromper ou reduzir a potência para evitar queimar o aquecedor.

Quando o tempo é crítico, é melhor isolar (aumentar ) do que aumentar a potência. Observe que e são multiplicadores, o primeiro especialmente para uma exponencial de tempo, enquanto poder é apenas um termo aditivo.Ra/Ro(1+Ra/Ro)Ra

Jeffrey J Weimer
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Editei isso para corrigir um erro na condição de contorno no aquecedor em t = 0 e um sinal negativo ausente na conversão da equação governante em uma forma adimensional. A solução agora carrega um sinal expressão . exp(τ)
Jeffrey J Weimer