Como inserir texto na área de texto na posição atual do cursor?

Se o usuário não tocar na entrada após a inserção do texto, o evento 'input' nunca será acionado e o atributo value não refletirá a alteração. Portanto, é importante disparar o evento de entrada após a inserção de texto de forma programática. Focar o campo não é suficiente.

A seguir, uma cópia da resposta de Snorvarg com um gatilho de entrada no final:

function insertAtCursor(myField, myValue) {
    //IE support
    if (document.selection) {
        myField.focus();
        sel = document.selection.createRange();
        sel.text = myValue;
    }
    // Microsoft Edge
    else if(window.navigator.userAgent.indexOf("Edge") > -1) {
      var startPos = myField.selectionStart; 
      var endPos = myField.selectionEnd; 

      myField.value = myField.value.substring(0, startPos)+ myValue 
             + myField.value.substring(endPos, myField.value.length); 

      var pos = startPos + myValue.length;
      myField.focus();
      myField.setSelectionRange(pos, pos);
    }
    //MOZILLA and others
    else if (myField.selectionStart || myField.selectionStart == '0') {
        var startPos = myField.selectionStart;
        var endPos = myField.selectionEnd;
        myField.value = myField.value.substring(0, startPos)
            + myValue
            + myField.value.substring(endPos, myField.value.length);
    } else {
        myField.value += myValue;
    }
    triggerEvent(myField,'input');
}

function triggerEvent(el, type){
  if ('createEvent' in document) {
    // modern browsers, IE9+
    var e = document.createEvent('HTMLEvents');
    e.initEvent(type, false, true);
    el.dispatchEvent(e);
  } else {
    // IE 8
    var e = document.createEventObject();
    e.eventType = type;
    el.fireEvent('on'+e.eventType, e);
  }
}

Crédito para plainjs.com pela função triggerEvent

Mais sobre o evento oninput em w3schools.com

Descobri isso ao criar um seletor de emoji para um bate-papo. Se o usuário selecionar apenas alguns emojis e pressionar o botão "enviar", o campo de entrada nunca será tocado pelo usuário. Ao verificar o atributo value, ele estava sempre vazio, mesmo que os unicodes emoji inseridos estivessem visíveis no campo de entrada. Acontece que, se o usuário não toca no campo, o evento 'input' nunca é acionado e a solução é acioná-lo dessa maneira. Demorou um pouco para descobrir isso ... espero que poupe alguém a algum tempo.

Lançamento da função modificada para referência própria. Este exemplo insere um item selecionado do <select>objeto e coloca o cursor entre as tags:

//Inserts a choicebox selected element into target by id
function insertTag(choicebox,id) {
    var ta=document.getElementById(id)
    ta.focus()
    var ss=ta.selectionStart
    var se=ta.selectionEnd
    ta.value=ta.value.substring(0,ss)+'<'+choicebox.value+'>'+'</'+choicebox.value+'>'+ta.value.substring(se,ta.value.length)
    ta.setSelectionRange(ss+choicebox.value.length+2,ss+choicebox.value.length+2)
}

 /**
 * Usage "foo baz".insertInside(4, 0, "bar ") ==> "foo bar baz"
 */
String.prototype.insertInside = function(start, delCount, newSubStr) {
    return this.slice(0, start) + newSubStr + this.slice(start + Math.abs(delCount));
};


 $('textarea').bind("keydown keypress", function (event) {
   var val = $(this).val();
   var indexOf = $(this).prop('selectionStart');
   if(event.which === 13) {
       val = val.insertInside(indexOf, 0,  "<br>\n");
       $(this).val(val);
       $(this).focus();
    }
})

O código abaixo é uma adaptação TypeScript do pacote https://github.com/grassator/insert-text-at-cursor por Dmitriy Kubyshkin.

/**
 * Inserts the given text at the cursor. If the element contains a selection, the selection
 * will be replaced by the text.
 */
export function insertText(input: HTMLTextAreaElement | HTMLInputElement, text: string) {
  // Most of the used APIs only work with the field selected
  input.focus();

  // IE 8-10
  if ((document as any).selection) {
    const ieRange = (document as any).selection.createRange();
    ieRange.text = text;

    // Move cursor after the inserted text
    ieRange.collapse(false /* to the end */);
    ieRange.select();

    return;
  }

  // Webkit + Edge
  const isSuccess = document.execCommand("insertText", false, text);
  if (!isSuccess) {
    const start = input.selectionStart;
    const end = input.selectionEnd;
    // Firefox (non-standard method)
    if (typeof (input as any).setRangeText === "function") {
      (input as any).setRangeText(text);
    } else {
      if (canManipulateViaTextNodes(input)) {
        const textNode = document.createTextNode(text);
        let node = input.firstChild;

        // If textarea is empty, just insert the text
        if (!node) {
          input.appendChild(textNode);
        } else {
          // Otherwise we need to find a nodes for start and end
          let offset = 0;
          let startNode = null;
          let endNode = null;

          // To make a change we just need a Range, not a Selection
          const range = document.createRange();

          while (node && (startNode === null || endNode === null)) {
            const nodeLength = node.nodeValue.length;

            // if start of the selection falls into current node
            if (start >= offset && start <= offset + nodeLength) {
              range.setStart((startNode = node), start - offset);
            }

            // if end of the selection falls into current node
            if (end >= offset && end <= offset + nodeLength) {
              range.setEnd((endNode = node), end - offset);
            }

            offset += nodeLength;
            node = node.nextSibling;
          }

          // If there is some text selected, remove it as we should replace it
          if (start !== end) {
            range.deleteContents();
          }

          // Finally insert a new node. The browser will automatically
          // split start and end nodes into two if necessary
          range.insertNode(textNode);
        }
      } else {
        // For the text input the only way is to replace the whole value :(
        const value = input.value;
        input.value = value.slice(0, start) + text + value.slice(end);
      }
    }

    // Correct the cursor position to be at the end of the insertion
    input.setSelectionRange(start + text.length, start + text.length);

    // Notify any possible listeners of the change
    const e = document.createEvent("UIEvent");
    e.initEvent("input", true, false);
    input.dispatchEvent(e);
  }
}

function canManipulateViaTextNodes(input: HTMLTextAreaElement | HTMLInputElement) {
  if (input.nodeName !== "TEXTAREA") {
    return false;
  }
  let browserSupportsTextareaTextNodes;
  if (typeof browserSupportsTextareaTextNodes === "undefined") {
    const textarea = document.createElement("textarea");
    textarea.value = "1";
    browserSupportsTextareaTextNodes = !!textarea.firstChild;
  }
  return browserSupportsTextareaTextNodes;
}

Alterado para getElementById (myField)

 function insertAtCursor(myField, myValue) {
    //IE support
    if (document.selection) {
        document.getElementById(myField).focus();
        sel = document.selection.createRange();
        sel.text = myValue;
    }
    //MOZILLA and others
    else if (document.getElementById(myField).selectionStart || document.getElementById(myField).selectionStart == '0') {
        var startPos = document.getElementById(myField).selectionStart;
        var endPos = document.getElementById(myField).selectionEnd;
        document.getElementById(myField).value = document.getElementById(myField).value.substring(0, startPos)
            + myValue
            + document.getElementById(myField).value.substring(endPos, document.getElementById(myField).value.length);
    } else {
        document.getElementById(myField).value += myValue;
    }
}