O que exatamente são anyons e como eles são relevantes para a computação quântica topológica?

Eu tenho tentado ter uma idéia básica do que são os anyons nos últimos dois dias. No entanto, os artigos on-line (incluindo a Wikipedia) parecem extraordinariamente vagos e impenetráveis, na medida em que explicam a computação quântica topológica e qualquer outra coisa.

A página da Wiki no computador quântico topológico diz:

Um computador quântico topológico é um computador quântico teórico que emprega quasipartículas bidimensionais chamadas anyons , cujas linhas do mundo se cruzam para formar tranças em um espaço-tempo tridimensional (ou seja, uma dimensão temporal mais duas dimensões espaciais ). Essas tranças formam os portões lógicos que compõem o computador. A vantagem de um computador quântico baseado em tranças quânticas sobre o uso de partículas quânticas presas é que o primeiro é muito mais estável. Perturbações pequenas e cumulativas podem fazer com que os estados quânticos desapareçam e introduzam erros no cálculo, mas essas pequenas perturbações não alteram as propriedades topológicas das tranças.

Isso pareceu interessante. Então, ao ver essa definição, tentei pesquisar o que são anyons :

Na física, anyon é um tipo de quase partícula que ocorre apenas em sistemas bidimensionais , com propriedades muito menos restritas que férmions e bósons. Em geral, a operação de troca de duas partículas idênticas pode causar uma mudança de fase global, mas não pode afetar os observáveis.

Ok, eu tenho alguma idéia sobre o que são quase-partículas . Por exemplo, quando um elétron viaja através de um semicondutor, seu movimento é perturbado de maneira complexa por suas interações com todos os outros elétrons e núcleos; no entanto, ele se comporta aproximadamente como um elétron com uma massa diferente (massa efetiva) viajando imperturbável pelo espaço livre. Esse "elétron" com uma massa diferente é chamado de "quase-partícula de elétron". Por isso, suponho que uma quase partícula, em geral, é uma aproximação para o fenômeno complexo de partículas ou ondas que pode ocorrer na matéria, o que seria difícil lidar matematicamente com o contrário.

No entanto, não pude seguir o que eles estavam dizendo depois disso. Eu sei que os bósons são partículas que seguem as estatísticas de Bose-Einstein e os férmions seguem as estatísticas de Fermi-Dirac .

Questões:

• No entanto, o que eles querem dizer com "muito menos restrito que férmions e bósons"? "Anyons" seguem um tipo diferente de distribuição estatística do que os bósons ou férmions seguem?

• Na próxima linha, eles dizem que a troca de duas partículas idênticas pode causar uma mudança de fase global, mas não pode afetar os observáveis. O que se entende por mudança de fase global nesse contexto? Além disso, de quais observáveis eles realmente estão falando aqui?

• Como essas quasipartículas, isto é, alguém realmente relevante para a computação quântica? Continuo ouvindo coisas vagas, como " As linhas do mundo de qualquer pessoa formam tranças / nós em 3 dimensões (2 espaciais e 1 temporal). Esses nós ajudam a formar formas estáveis ​​de matéria, que não são facilmente suscetíveis à decoerência ". Eu acho que este vídeo Ted-Ed dá uma idéia, mas parece lidar com a restrição de elétrons (em vez de "anyons") para se mover em um determinado caminho fechado dentro de um material.

Ficaria feliz se alguém pudesse me ajudar a conectar os pontos e entender o significado e o significado de "anyons" em um nível intuitivo. Acho que uma explicação em nível de leigo seria mais útil para mim, inicialmente, do que uma explicação matemática completa. No entanto, eu conheço a mecânica quântica básica no nível de graduação, então você pode usá-la em sua explicação.

A primeira coisa a fazer é pensar topologicamente: certifique-se de entender por que uma xícara de café é a mesma coisa que uma rosquinha.

Agora, imagine que trocamos duas partículas idênticas e fazemos de novo, para voltarmos ao ponto de partida. Aplique esse pensamento topológico aos caminhos percorridos pelas partículas: é o mesmo que não fazer nada.

Aqui eu mostro uma imagem disso, onde uma partícula é arrastada em torno de outra partícula. Topologicamente, o caminho percorrido pode ser deformado de volta ao caminho "não fazer nada".

A raiz quadrada desta operação é uma troca:

Como a raiz quadrada de 1 é +1 ou -1, uma troca afeta o estado multiplicando por +1 (para bósons) ou -1 (para férmions).

Para entender qualquer pessoa, faremos a mesma análise, mas com uma dimensão a menos. Portanto, agora uma partícula enrolada em torno de outra partícula não é topologicamente igual à operação "não fazer nada":

Precisamos da terceira dimensão extra para desvendar o caminho de anyon e, como não podemos fazer isso topologicamente, o estado do sistema pode ser modificado por esse processo.

As coisas ficam mais interessantes à medida que adicionamos partículas. Com três anyons, os caminhos percorridos podem se enredar ou trançar de maneira arbitrária. Para ver como isso funciona, é útil usar três dimensões: duas dimensões de espaço e uma dimensão de tempo. Aqui está um exemplo de três pessoas andando e retornando onde começaram:

Muito antes de os físicos começarem a pensar em alguém, os matemáticos já descobriram como esses processos de trança se combinam para formar novas tranças ou desfazer tranças. Estes são conhecidos como "grupos de tranças" no trabalho que remonta a Emil Artin em 1947.

Como a distinção entre bósons e férmions acima, diferentes sistemas anyon se comportarão de maneira diferente quando você fizer essas operações de trança. Um exemplo de anyon, conhecido como Fibonacci anyon, é capaz de aproximar qualquer operação quântica apenas fazendo esses tipos de tranças. E, portanto, teoricamente, poderíamos usá-los para construir um computador quântico.

Escrevi um artigo introdutório sobre anyons, onde obtive essas fotos: https://arxiv.org/abs/1610.05384 . Há mais matemática lá, bem como a descrição de um primo próximo da teoria de anyon, conhecido como "functor modular".

Aqui está outra boa referência, com mais vantagens de Fibonacci anyon: Introdução à computação quântica topológica com anyons não abelianos

EDIT : Vejo que não disse nada sobre os observáveis. Os observáveis do sistema medem o conteúdo total de qualquer pessoa em uma região. Em termos de caminhos de anyon, podemos pensar nisso como reunir todos os anyons em alguma região e "fundi-los" em um anyon, que pode ser o "no anyon", também conhecido como estado de vácuo. Para um sistema que suporte os fibons de Fibonacci, haverá apenas dois resultados para essa medição: fibonacci anyon ou vacuum. Outro exemplo é o código tórico, onde existem quatro resultados em qualquer um.

Você está certo, parece que a página da Wikipedia precisa funcionar, então terei que atualizá-la. Mas, por enquanto, responderei todas as cinco perguntas:

1) O que eles querem dizer com "muito menos restrito do que férmions e bósons?

$|\psi_1\psi_2\rangle = \pm|\psi_2\psi_1\rangle$
$+$$-$

$|\psi_1\psi_2\rangle = e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle$
$\theta=0$$\theta=\pi$

2) "anyons" seguem um tipo diferente de distribuição estatística do que os bósons ou férmions seguem?

$\theta$$0$$\pi$

3) A troca de duas partículas idênticas pode causar uma mudança de fase global, mas não pode afetar os observáveis. O que se entende por mudança de fase global nesse contexto?

$e^{i\theta}$$-1$

O que o artigo da Wikipedia deveria ter dito foi que, quando você troca duas partículas idênticas duas vezes, ainda recebe uma mudança de fase global, o que não é verdade para bósons e férmions. Aqui, a primeira e a segunda setas indicam a primeira e a segunda vezes que trocamos as partículas 1 e 2:

$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow |\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow |\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow -|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow -(-|\psi_1\psi_2\rangle)=|\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow e^{i\theta}(e^{i\theta})=e^{i2\theta}|\psi_1\psi_2\rangle$$e^{i2\theta}$

4) Além disso, de quais observáveis ​​eles realmente estão falando aqui?

$x$$x$$\langle \psi|\hat{x}|\psi\rangle$

$| \psi\rangle=e^{i\theta}|\phi\rangle$
$\langle \psi|=e^{-i\theta}\langle\phi|$
$\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle = \langle\phi|\hat{x}|\phi\rangle$

$|\phi\rangle$$|\psi\rangle$$e^{i\theta}$

5) Como essas quasipartículas, isto é, alguém realmente relevante para a computação quântica?

Existem muitas propostas para a construção de um computador quântico, por exemplo:

• (i) Os computadores quânticos de RMN fazem uso de férmions (como a rotação de um próton).
  
• (ii) Computadores quânticos fotônicos fazem uso de bósons (fótons são bósons)
  
• (iii) Computadores quânticos topológicos são um tipo proposto de computador quântico que utilizaria anyons.

Uma vantagem de (iii) sobre (i) é que as fidelidades devem ser muito maiores. A vantagem sobre (ii) é que deve ser mais fácil fazer com que os qubits interajam. A desvantagem sobre ambos (i) e (ii) é que experimentos envolvendo anyons são relativamente novos. A RMN existe desde 1938 e os lasers (fotônicos) existem desde 1960, mas as experiências com anyons começaram na década de 1980 e ainda estão longe de atingir a maturidade da ciência de spin ou da laser, para não dizer que isso nunca acontecerá em o futuro.

"Acho que uma explicação em nível de leigo seria mais útil para mim, inicialmente, do que uma explicação matemática completa".

$e^{i\theta}$

$e^{i\theta}$