Jones Polynomial

Existem muitos algoritmos quânticos razoavelmente padrão que podem ser entendidos dentro de uma estrutura muito semelhante, desde o problema de Simon no algoritmo de Deutsch, pesquisa de Grover, algoritmo de Shor e assim por diante.

Um algoritmo que parece ser completamente diferente é o algoritmo para avaliar o polinômio de Jones . Além disso, parece que este é um algoritmo crucial para entender no sentido de que é um problema completo do BQP : ele exibe toda a potência de um computador quântico. Além disso, para uma variante do problema, é o DQC-1 completo , ou seja, exibe a potência total de um qubit limpo .

O artigo do algoritmo Jones Polynomial apresenta o algoritmo de uma maneira muito diferente dos outros algoritmos quânticos. Existe uma maneira mais semelhante / familiar de entender o algoritmo (especificamente, o unitário na variante DQC-1, ou apenas todo o circuito na variante BQP-complete)?$U$

Essa resposta é mais ou menos um resumo do artigo de Aharonov-Jones-Landau ao qual você vinculou, mas com tudo que não está diretamente relacionado à definição do algoritmo removido. Espero que isso seja útil.

O algoritmo de Aharonov-Jones-Landau aproxima o polinômio de Jones do fechamento de uma trança em uma k- ésima raiz de unidade, percebendo-o como (algum redimensionamento de) um elemento da matriz de uma determinada matriz unitária U σ , a imagem de σ sob uma certa representação unitária do grupo de tranças B 2 n . Dada a implementação de U σ como um circuito quântico, a aproximação de seus elementos da matriz é direta usando o teste de Hadamard . A parte não trivial está aproximando U σ como um circuito quântico.$\sigma$$k$$U_\sigma$$\sigma$$B_{2n}$$U_\sigma$$U_\sigma$

Se é uma trança em 2 n fios com m cruzamentos, podemos escrever σ = σ £ 1 a 1 σ £ 2 a 2 ⋯ σ £ m um m , onde a 1 , a 2 , ... , um m ∈ { 1 , 2 , … , 2 n - 1 } , ϵ 1 , ϵ 2$\sigma$$2n$$m$$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$$a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ , e σ i é o gerador de B 2 n que corresponde ao cruzamento da i- ésima vertente sobre o ( i + 1 ) st. Basta descrever U σ i , pois U σ = U ϵ 1 σ a 1 ⋯ U ϵ m σ a m .$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$$\sigma_i$$B_{2n}$$i$$(i + 1)$$U_{\sigma_i}$$U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

Para definir , primeiro damos um certo subconjunto da base padrão de C 2 2 n no qual U σ i atua de maneira não trivial. Para ψ = | b 1 b 2 ⋯ b 2 N ⟩ , deixar ℓ i ' ( ψ ) = 1 + Σ i ' j = 1 ( - 1 ) 1 - b j . Vamos ligar $U_{\sigma_i}$$\mathbb{C}^{2^{2n}}$$U_{\sigma_i}$$\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$$\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$$\psi$ admissível se para todo i ' ∈ { 1 , 2 , ... , 2 n } . (Isso corresponde a ψ que descreve um caminho de comprimento 2 n no gráfico G k definido no artigo da AJL.) Seja λ r = { sin ( π r / k ) se  1 ≤ r $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$$i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$$\psi$$2n$$G_k$SejaA=ie-πi/2k(isso é digitado incorretamente no artigo da AJL; observe também que aqui e somente aqui,i=

$$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$$ $A = ie^{-\pi i/2k}$ não é o índicei). Escrevaψ=| ψibib i + 1 ⋯⟩, ondeψié o primeiroi-1bits deψ, e deixarzi=ℓ i - 1 (ψi). Então U σ i ( | ψ i 00 ⋯ ⟩ $i = \sqrt{-1}$$i$$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$$\psi_i$$i - 1$$\psi$$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$ DefinimosL σ i (ψ)=ψpara elementos da base não admissíveisψ. $$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$$ $U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$$\psi$

$U_{\sigma_i}$$n$$k$$U_{\sigma_i}$$i - 1$$z_i$$z_i$$k$$U_{\sigma_i}$$U_{\sigma_i}$$1 \leq z_i \leq k - 1$

Então, para recapitular:

1. $\sigma \in B_{2n}$$m$
2. $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
3. $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$$U_{\sigma_{a_i}}$$\epsilon_i = -1$
4. $U_{\sigma}$
5. $\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
6. $\sigma$$e^{2\pi i/k}$

Você mencionou cinco artigos na questão, mas um artigo que não foi mencionado é a implementação experimental em 2009 . Aqui você encontrará o circuito real que foi usado para avaliar um polinômio Jones:

Isso pode ser o mais próximo possível de uma apresentação "mais familiar" do algoritmo, já que o interesse no polinômio Jones e no DQC-1 diminuiu um pouco desde 2009.

Mais detalhes sobre esse experimento podem ser encontrados na tese de Gina Passante .