Como funciona a notação bra-ket?

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Algoritmos quânticos freqüentemente usam notação bra-ket em suas descrições. O que significam todos esses colchetes e linhas verticais? Por exemplo:|ψ=α|0+β|1

Embora seja indiscutivelmente uma questão sobre matemática, esse tipo de notação parece ser usado frequentemente quando se lida especificamente com a computação quântica. Não sei se já o vi usado em outros contextos.


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Com a última parte, quero dizer que é possível denotar vetores e produtos internos usando notação padrão para álgebra linear, e alguns outros campos que usam esses objetos e operadores o fazem sem o uso de notação bra-ket.

Isso me leva a concluir que há alguma diferença / razão pela qual o bra-ket é especialmente útil para denotar algoritmos quânticos. Não é uma afirmação de fato, eu quis dizer isso como uma observação. "Não tenho certeza se o vi usado em outro lugar" não é a mesma declaração que "Não é usado em nenhum outro contexto".

Ella Rose
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Relacionado: Como notação de bra-ketTEX no Meta.
Nat

Respostas:

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Como já explicado por outros, um ket ip ||ψ é apenas um vetor. Um sutiã é o conjugado hermitiano do vetor. Você pode multiplicar um vetor por um número da maneira usual.ψ|

Agora vem a parte divertida: você pode escrever o produto escalar de dois vetores e|ψ& Phi;|ϕ como .ϕ|ψ

Você pode aplicar um operador ao vetor (em dimensões finitas, isso é apenas uma multiplicação de matrizes) .X|ψ

Em suma, a notação é muito prática e intuitiva. Para mais informações, consulte o artigo da Wikipedia ou um livro sobre Mecânica Quântica.

jknappen - Restabelecer Monica
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"bra é um conjugado hermitiano". O que é um conjugado hermitiano de um vetor? E é apenas o produto interno & Phi; ψ de vetores & Phi e ψ ? ϕ|ψϕψϕψ
develarist 17/11
Existem dois tipos de vetores, vetores de coluna e vetores de linha. O conjugado hermitiano de um vetor de coluna é um vetor de linha com elementos conjugados complexos e vice-versa.
jknappen - Restabelece Monica em 17/11
elementos conjugados complexos?
develarist 17/11
Elementos como nos elementos da matriz. Você também pode usar o termo "componentes" que é mais comum ao falar sobre vetores.
jknappen - Restabelece Monica em 17/11
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Sim, é o produto interno , mas o espaço vectorial é complexo, então a fórmula é & Phi; ip , observe o punhal para o conjugado hermitiano, que não é apenas a transposta. ϕ|ψϕψ
jknappen - Restabelece Monica em 17/11
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Você poderia pensar em e | 1 como dois estados da base ortonormais (representados por "Ket" s) de um bit quântico que reside num dimensional espaço vectorial dois complexo. As linhas e colchetes que você vê são basicamente a notação bra-ket, também conhecida como Dirac, que é comumente usada na mecânica quântica.|0|1

Como um exemplo poderia representar o spin-down estado de um elétron, enquanto | 1 poderia representar o estado de spin-up. Mas, na verdade, o elétron pode estar em uma superposição linear desses dois estados, ou seja | ip elétron = um | 0 + b | 1 (este é normalmente normalizados como uma | 0 + b | 1 |0|1|ψelectron=a|0+b|1 ) ondeum,bC.a|0+b|1|a|2+|b|2a,bC

Sanchayan Dutta
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O que significam todos esses colchetes e linhas verticais?

A notação meios exatamente a mesma coisa que v ou v , ou seja, ele denota um vetor cujo nome é "v". É isso aí. Não há mais mistério ou mágica. O símbolo | ip denota um vetor chamado de "psi".|vvv|ψ

O símbolo é chamado de "ket", mas poderia muito bem (e na minha opinião deve) ser chamado de um "vector" com absolutamente nenhuma perda de significado.|

Embora seja indiscutivelmente uma questão sobre matemática, esse tipo de notação parece ser usado frequentemente quando se lida especificamente com a computação quântica. Não sei se já o vi usado em outros contextos.

A notação foi inventada por um físico ( Paul Dirac ) e é chamada "notação Dirac" ou "notação bra-ket" . Até onde eu sei, Dirac provavelmente o inventou enquanto estudava a mecânica quântica, e, historicamente, a notação tem sido usada principalmente para denotar os vetores que aparecem na mecânica quântica, ou seja, estados quânticos. A notação bra-ket é o padrão em qualquer contexto da mecânica quântica, não apenas na computação quântica. Por exemplo, a equação de Schrodinger , que tem a ver com dinâmica em sistemas quânticos e antecede a computação quântica por décadas, é escrita usando a notação bra-ket.

Além disso, a notação é bastante conveniente em outros contextos de álgebra linear e é usada fora da mecânica quântica.

DanielSank
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Isso me leva a concluir que há alguma diferença / razão pela qual o bra-ket é especialmente útil para denotar algoritmos quânticos.

Já existe uma resposta aceita e uma resposta que explica 'ket', 'bra' e a notação escalar do produto.

Vou tentar adicionar um pouco mais à entrada destacada. O que a torna uma notação útil / útil?

A primeira coisa para a qual a notação de braquete é realmente muito usada é denotar de maneira muito simples os vetores próprios de um operador (geralmente hermitiano) associado a um valor próprio. Suponha que temos uma equação de autovalor , isso pode ser denotado como AA(v)=λv , e provavelmente algum rótulo adicional k se há alguma degeneração A | λ , k = λ | λ , k .A|λ=λ|λkA|λ,k=λ|λ,k

Você vê isso empregado em toda a mecânica quântica, eigenstates de momento tendem a ser rotulados como ou| pdependendo unidades, ou com múltiplos estados de partículas| p 1,p 2,|k|p; representação de número de ocupação para sistemas bose e fermi muitos sistemas corporais| n1,n2,; uma meia partícula de spin que leva os eigenstates geralmente doSz|p1,p2,p3|n1,n2,Szoperador, escrito às vezes como E | - ou | |+| E | | , Etc como abreviação para | ± / 2 ; harmônicos esféricos como funções próprias das funções L 2 e L z são convenientemente escritos como | l , m com l = 0||±/2L2Lz|l,m e m = - l , - l + 1 , ... , L - 1 , l .l=0,1,2,m=l,l+1,,l1,l.

Portanto, a conveniência da notação é uma coisa, mas também existe um tipo de 'lego' nas manipulações algébricas com a notação dirac, por exemplo, o meio operador de rotação na notação dirac como S x = Sx , atuando em um estado como | simplesmenteSx=2(||+||)|

Sx|=2(||+||)|=2|↓∣↑+2|↑∣↑=2|

uma vez que e = 0 .↑∣↑=1↓∣↑=0

O que o torna útil para algoritmos quânticos?

Digamos que temos um sistema de dois níveis adequado para um qubit; isso forma um espaço vetorial complexo bidimensional dizer cuja base é denotada como | 0 e | 1 . Quando consideramos digamos n qubits dessa forma, os estados do sistema vivem em um espaço maior, o espaço do produto tensorial, V n | 1001 , e dizer que temos um pouco aleta operador X i que intercambia 1 V|0|1nVn . A notação Dirac pode ser bastante útil aqui, os estados base serão rotulados por seqüências de caracteres uns e zeros e um geralmente denota um estado, por exemplo |1|0|0|1|1001Xi sobre o i 'th bit, isso pode agir em vez simplesmente sobre as cordas acima eg X 3 | 1001 = | 1011 , e tendo uma soma de operadores ou agindo em uma superposição de estados funciona tão simplesmente.10iX3|1001=|1011

Cuidado leve: um estado escrito como nem sempre significa | um | b , por exemplo quando tiver duas fermiones idênticos com funções de onda dizer φ k 1 ( r 1 ) e φ k|a,b|a|bϕk1(r1), com rótulos indexando um conjunto base, em seguida, pode-se escrever o telhador estado determinante da férmions 1ϕk2(r2) em uma abreviação como | φ k 1 , φ k 2 ou mesmo

12(ϕk1(r1)ϕk2(r2)ϕk1(r2)ϕk2(r1))
|ϕk1,ϕk2 .|k1,k2|k1|k2
desprezível
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A notação ket significa um vector em qualquer espaço vetorial Estamos trabalhando em, como o espaço de todas as combinações lineares complexas dos oito cordas de 3 bits 000 , 001 , 010 , etc. , como podemos usar para representar os estados de um computador quântico. Sem adornos vF significa exatamente a mesma coisa: a | ip ket notação é útil em parte para enfatizar que, por exemplo, | 010 é um elemento do espaço vectorial de interesse, e, em parte, pela sua fofura em combinação com o bra notação.|ψ000001010ψ|ψ|010

O bra notação significa o vetor duplo ou covector - um mapa funcional linear ou linear de vetores a escalares, cujo valor em um vetor | φ é o produto interno de ψ com φ , cutely escrito ψ | & Phi; . Aqui assumimos a existência de um produto interno, que não é dado em espaços vetoriais arbitrários, mas na física quântica geralmente trabalhamos em espaços de Hilbert que, por definição, têm um produto interno. O dual de um vetor também é chamado deψ||ϕψϕψ|ϕ (Hermitiana) de transposição , porque em representação de matriz, um vector corresponde a uma coluna e um covector corresponde a uma linha, e quando se multiplicam row×columnvocê recebe um escalar. (A parte hermitiana significa que, além de transpor a matriz, tomamos o complexo conjugado de suas entradas - que na verdade está apenas transpondo ainda mais a representação da matriz [abba] do número complexo .)a+bi

Quando escrito de outra maneira, )|ψϕ|, você obtém o produto externo de com ϕ , definido como a transformação linear do espaço vetorial dada por | q ( & Phi; | q ) | ip . Isto é, dado um vetor θ , que dimensiona o vetor ψ pela escalar dada pelo produto interno & Phi; | q ψϕ|θ(ϕ|θ)|ψθψϕ|θ. Desde que as operações em questão são associativos, podemos remover os parênteses e escrever de forma inequívoca As operações envolvidas não são comutativas em geral, no entanto: reverter a ordem produz o conjugado complexo

(|ψϕ|)|θ=|ψϕ|θ=ϕ|θ|ψ=(ϕ|θ)|ψ.
, substituindo a + b i por um - b i . Pode haver outras transformações dos espaços envolvidos jogado no mix também, comoip A , aplicada ao vetor | & Phi; , ou como a avaliação do funcional linearψ|ϕ=ϕ|ψa+biabi , que pode ser lido de forma equivalente como o pré-composição do funcional linearip | pela transformação linearip | no vetor obtido pela transformação |ψ|A|ϕψ|A|ϕψ| pela transformação linear Uma .|ϕA

A notação é usada principalmente na física quântica; matemáticos tendem a escrever apenas onde os físicos podem escrever | ip ; ψ * para o covector ψψ|ψψ; querψ , φ ou ψ * φ para o produto interno; e ψ * A φ para o que os físicos faria Notate porψ | Um |ψ|ψ,ϕψϕψAϕ .ψ|A|ϕ

Ossifrage Squeamish
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