Como funciona a notação bra-ket?

Algoritmos quânticos freqüentemente usam notação bra-ket em suas descrições. O que significam todos esses colchetes e linhas verticais? Por exemplo:$|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Embora seja indiscutivelmente uma questão sobre matemática, esse tipo de notação parece ser usado frequentemente quando se lida especificamente com a computação quântica. Não sei se já o vi usado em outros contextos.

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Com a última parte, quero dizer que é possível denotar vetores e produtos internos usando notação padrão para álgebra linear, e alguns outros campos que usam esses objetos e operadores o fazem sem o uso de notação bra-ket.

Isso me leva a concluir que há alguma diferença / razão pela qual o bra-ket é especialmente útil para denotar algoritmos quânticos. Não é uma afirmação de fato, eu quis dizer isso como uma observação. "Não tenho certeza se o vi usado em outro lugar" não é a mesma declaração que "Não é usado em nenhum outro contexto".

Como já explicado por outros, um ket ⟨ ip $\left|\psi\right>$ é apenas um vetor. Um sutiã é o conjugado hermitiano do vetor. Você pode multiplicar um vetor por um número da maneira usual.$\left<\psi\right|$

Agora vem a parte divertida: você pode escrever o produto escalar de dois vetores e$\left|\psi\right>$⟨ $\left|\phi\right>$ como .$\left<\phi\middle|\psi\right>$

Você pode aplicar um operador ao vetor (em dimensões finitas, isso é apenas uma multiplicação de matrizes) .$X\left|\psi\right>$

Em suma, a notação é muito prática e intuitiva. Para mais informações, consulte o artigo da Wikipedia ou um livro sobre Mecânica Quântica.

Você poderia pensar em e | 1 ⟩ como dois estados da base ortonormais (representados por "Ket" s) de um bit quântico que reside num dimensional espaço vectorial dois complexo. As linhas e colchetes que você vê são basicamente a notação bra-ket, também conhecida como Dirac, que é comumente usada na mecânica quântica.$|0\rangle$$|1\rangle$

Como um exemplo poderia representar o spin-down estado de um elétron, enquanto | 1 ⟩ poderia representar o estado de spin-up. Mas, na verdade, o elétron pode estar em uma superposição linear desses dois estados, ou seja | ip ⟩ elétron = um | 0 ⟩ + b | 1 ⟩ (este é normalmente normalizados como uma | 0 ⟩ + b | 1 $|0\rangle$$|1\rangle$$|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ ) ondeum,b∈C.$\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$$a,b\in \Bbb{C}$

O que significam todos esses colchetes e linhas verticais?

A notação meios exatamente a mesma coisa que → v ou v , ou seja, ele denota um vetor cujo nome é "v". É isso aí. Não há mais mistério ou mágica. O símbolo | ip ⟩ denota um vetor chamado de "psi".$\left \lvert v \right \rangle$$\vec{v}$$\textbf{v}$$\left \lvert \psi \right \rangle$

O símbolo é chamado de "ket", mas poderia muito bem (e na minha opinião deve) ser chamado de um "vector" com absolutamente nenhuma perda de significado.$\left \lvert \cdot \right \rangle$

Embora seja indiscutivelmente uma questão sobre matemática, esse tipo de notação parece ser usado frequentemente quando se lida especificamente com a computação quântica. Não sei se já o vi usado em outros contextos.

A notação foi inventada por um físico ( Paul Dirac ) e é chamada "notação Dirac" ou "notação bra-ket" . Até onde eu sei, Dirac provavelmente o inventou enquanto estudava a mecânica quântica, e, historicamente, a notação tem sido usada principalmente para denotar os vetores que aparecem na mecânica quântica, ou seja, estados quânticos. A notação bra-ket é o padrão em qualquer contexto da mecânica quântica, não apenas na computação quântica. Por exemplo, a equação de Schrodinger , que tem a ver com dinâmica em sistemas quânticos e antecede a computação quântica por décadas, é escrita usando a notação bra-ket.

Além disso, a notação é bastante conveniente em outros contextos de álgebra linear e é usada fora da mecânica quântica.

Isso me leva a concluir que há alguma diferença / razão pela qual o bra-ket é especialmente útil para denotar algoritmos quânticos.

Já existe uma resposta aceita e uma resposta que explica 'ket', 'bra' e a notação escalar do produto.

Vou tentar adicionar um pouco mais à entrada destacada. O que a torna uma notação útil / útil?

A primeira coisa para a qual a notação de braquete é realmente muito usada é denotar de maneira muito simples os vetores próprios de um operador (geralmente hermitiano) associado a um valor próprio. Suponha que temos uma equação de autovalor , isso pode ser denotado como $A(v)=\lambda v$ , e provavelmente algum rótulo adicional k se há alguma degeneração A | λ , k ⟩ = λ | λ , k ⟩ .$A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$$k$$A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Você vê isso empregado em toda a mecânica quântica, eigenstates de momento tendem a ser rotulados como ou| → p ⟩dependendo unidades, ou com múltiplos estados de partículas| → p 1, → p 2$\left|\vec{k}\right\rangle$$\left|\vec{p}\right\rangle$; representação de número de ocupação para sistemas bose e fermi muitos sistemas corporais| n1,n2,…⟩; uma meia partícula de spin que leva os eigenstates geralmente doS$\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$$\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$$S_z$operador, escrito às vezes como E | - ⟩ ou | $\left|+\right\rangle$$\left|-\right\rangle$ E | $\left|\uparrow\,\right\rangle$ , Etc como abreviação para | ± ℏ / 2 ⟩ ; harmônicos esféricos como funções próprias das funções L 2 e L z são convenientemente escritos como | l , m ⟩ com l = $\left|\downarrow\,\right\rangle$$\left|\pm \hbar/2\right\rangle$$L^2$$L_z$$\left|l,m\right\rangle$ e m = - l , - l + 1 , ... , L - 1 , l $l=0,1,2,\ldots$$m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Portanto, a conveniência da notação é uma coisa, mas também existe um tipo de 'lego' nas manipulações algébricas com a notação dirac, por exemplo, o meio operador de rotação na notação dirac como S x = $S_x$ , atuando em um estado como | ↑ ⟩ simplesmente$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$$\left|\uparrow\right\rangle$

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$$

uma vez que e ⟨ ↓ ∣ ↑ ⟩ = 0 .$\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$$\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

O que o torna útil para algoritmos quânticos?

Digamos que temos um sistema de dois níveis adequado para um qubit; isso forma um espaço vetorial complexo bidimensional dizer cuja base é denotada como | 0 ⟩ e | 1 ⟩ . Quando consideramos digamos n qubits dessa forma, os estados do sistema vivem em um espaço maior, o espaço do produto tensorial, V ⊗ n | 1001 ⟩ , e dizer que temos um pouco aleta operador X i que intercambia 1 $V$$\left|0\right\rangle$$\left|1\right\rangle$$n$$V^{\otimes n}$ . A notação Dirac pode ser bastante útil aqui, os estados base serão rotulados por seqüências de caracteres uns e zeros e um geralmente denota um estado, por exemplo $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$$X_i$ sobre o i 'th bit, isso pode agir em vez simplesmente sobre as cordas acima eg X 3 | 1001 ⟩ = | 1011 ⟩ , e tendo uma soma de operadores ou agindo em uma superposição de estados funciona tão simplesmente.$1\leftrightarrow 0$$i$$X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Cuidado leve: um estado escrito como nem sempre significa | um ⟩ ⊗ | b ⟩ , por exemplo quando tiver duas fermiones idênticos com funções de onda dizer φ k 1 ( → r 1 ) e φ $\left|a,b\right\rangle$$\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$$\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$, com rótulos indexando um conjunto base, em seguida, pode-se escrever o telhador estado determinante da férmions$\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$ em uma abreviação como | φ k 1 , φ k 2 ⟩ ou mesmo

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ $\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$ .$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

A notação ket significa um vector em qualquer espaço vetorial Estamos trabalhando em, como o espaço de todas as combinações lineares complexas dos oito cordas de 3 bits 000 , 001 , 010 , etc. , como podemos usar para representar os estados de um computador quântico. Sem adornos vF significa exatamente a mesma coisa: a | ip ⟩ ket notação é útil em parte para enfatizar que, por exemplo, | 010 ⟩ é um elemento do espaço vectorial de interesse, e, em parte, pela sua fofura em combinação com o bra notação.$|\psi\rangle$$000$$001$$010$$\psi$$|\psi\rangle$$|010\rangle$

O bra notação significa o vetor duplo ou covector - um mapa funcional linear ou linear de vetores a escalares, cujo valor em um vetor | φ ⟩ é o produto interno de ψ com φ , cutely escrito ⟨ ψ | & Phi; ⟩ . Aqui assumimos a existência de um produto interno, que não é dado em espaços vetoriais arbitrários, mas na física quântica geralmente trabalhamos em espaços de Hilbert que, por definição, têm um produto interno. O dual de um vetor também é chamado de$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$\psi$$\phi$$\langle\psi|\phi\rangle$ (Hermitiana) de transposição , porque em representação de matriz, um vector corresponde a uma coluna e um covector corresponde a uma linha, e quando se multiplicam $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$você recebe um escalar. (A parte hermitiana significa que, além de transpor a matriz, tomamos o complexo conjugado de suas entradas - que na verdade está apenas transpondo ainda mais a representação da matriz $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ do número complexo .)$a + b i$

Quando escrito de outra maneira, $|\psi\rangle\langle\phi|$, você obtém o produto externo de com ϕ , definido como a transformação linear do espaço vetorial dada por | q ⟩ ↦ ( ⟨ & Phi; | q ⟩ ) | ip ⟩ . Isto é, dado um vetor θ , que dimensiona o vetor ψ pela escalar dada pelo produto interno ⟨ & Phi; | q $\psi$$\phi$$|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$$\theta$$\psi$$\langle\phi|\theta\rangle$. Desde que as operações em questão são associativos, podemos remover os parênteses e escrever de forma inequívoca As operações envolvidas não são comutativas em geral, no entanto: reverter a ordem produz o conjugado complexo

$$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$$ , substituindo a + b i por um - b i . Pode haver outras transformações dos espaços envolvidos jogado no mix também, como ⟨ ip A , aplicada ao vetor | & Phi; ⟩ , ou como a avaliação do funcional linear$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$$a + b i$$a - b i$ , que pode ser lido de forma equivalente como o pré-composição do funcional linear ⟨ ip | pela transformação linear ⟨ ip | no vetor obtido pela transformação$\langle\psi|A|\phi\rangle$$\langle\psi|$$A$$|\phi\rangle$$\langle\psi|$ pela transformação linear Uma .$|\phi\rangle$$A$

A notação é usada principalmente na física quântica; matemáticos tendem a escrever apenas onde os físicos podem escrever | ip ⟩ ; ψ * para o covector ⟨ $\psi$$|\psi\rangle$$\psi^*$; quer ⟨ ψ , φ ⟩ ou ψ * φ para o produto interno; e ψ * A φ para o que os físicos faria Notate por ⟨ ψ | Um $\langle\psi|$$\langle\psi,\phi\rangle$$\psi^*\phi$$\psi^*A\phi$ .$\langle\psi|A|\phi\rangle$