O que significa a notação de código de correção de erro quântico?

Entendo a notação para códigos clássicos de correção de erros. Por exemplo, " Hamming (7,4) " significa um código Hamming que usa 7 bits para codificar blocos de 4 bits.

O que significa a notação para códigos de correção de erro quântico? Por exemplo, existe um artigo que trata de um código [[4,2,2]]. Quais são esses três números? O que significam colchetes duplos?

Um é um código quântico de correção de erros que codifica k qubits em umestado de n bits, de forma que qualquer operação que mapeie algum estado codificado para outro estado codificado deve atuar em pelo menos d qubits. (Assim, por exemplo, qualquer estado codificado que tenha sido submetido a um erro consistindo em no máximo ⌊ ( d - 1 ) / 2 operations as operações de Pauli pode, em princípio, ser recuperado perfeitamente).$[\![n,k,d]\!]$$k$$n$$d$$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$

Essa notação generaliza a notação para códigos de correção de erros clássicos, nos quais as strings "texto simples" de k- bits são codificadas nas strings "palavra-código" de n bits, de forma que pelo menos d bits devem ser invertidos para transformar entre quaisquer duas palavras de código representando diferentes textos simples. (Nesse contexto e no caso quântico, d é chamado de distância do código .) Os colchetes duplos são usados ​​simplesmente para indicar que o código que está sendo referido é um código de correção de erros quânticos, em vez de um código clássico.$[n,k,d]$$k$$n$$d$$d$

Tomando um código :$\left[\left[n, k, d\right]\right]$

O equivalente clássico a isso é um código , que é um código referente ao número de bits, n , que codifica k bits. O terceiro número, d , é a distância mínima de Hamming entre duas palavras de código. Isso é igual ao peso mínimo de Hamming (ou seja, número de bits diferentes de zero) de palavras de código diferentes de zero.$\left[n, k, d\right]$$n$$k$$d$

Conforme o caso clássico, no caso quântico , os dois primeiros números se referem aos números de qubits, , que codificam k qubits. d ainda é usado para se referir à distância, mas a definição de distância precisa ser alterada.$n$$k$$d$

O peso , , de um operador Pauli E a , é o número de qubits em que um operador Pauli (um qubit) ( X , Y  ou  Z ) atua. Como um exemplo, tomando arbitrariamente E 1 = X ⊗ I ⊗ I ⊗ Z ⊗ I , E 1 tem um peso t = 2 . A distância é, em seguida, o peso mínimo que a sobreposição de um operador Pauli (no espaço de possíveis erros) que actua sobre uma palavra de código, com um diferente$t$$E_a$$\left(X, Y \text{ or } Z\right)$$E_1 = X\otimes I\otimes I\otimes Z\otimes I$$E_1$$t=2$palavra de código é diferente de zero, ou o peso mínimo de tal modo que para algum (Real) C uma para todas as palavras de código de i e j . Ou seja, a distância é o número mínimo de erros que podem ocorrer em uma palavra de código que faz com que ela seja mapeada para uma palavra de código diferente.$\left<j\vert E_a\vert i\right>\neq C_a\delta_{ji}$$C_a$$i$$j$

Para mais detalhes, consulte, por exemplo, o Capítulo 7 das notas da computação quântica de Preskill .