Como a amostragem de Fourier realmente funciona (e resolve o problema de paridade)?

Estou escrevendo com respeito às partes I e II das aulas em vídeo de amostragem Fourier do professor Umesh Vazirani. Na parte I, eles começam com: Na transformação de Hadamard: | u⟩=| u1. . . un⟩→Σ{0,1}n(-1)u. x|0...0⟩→∑{0,1}n12n/2|x⟩|0...0⟩→∑{0,1}n12n/2|x⟩|0...0\rangle \to...