Um determinante minúsculo implica mau condicionamento de uma matriz?

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Se eu tenho uma matriz quadrada invertível e tomo seu determinante, e acho que , isso implica que a matriz está mal condicionada?det(A)0

O inverso também é verdadeiro? Uma matriz mal condicionada tem um determinante quase zero?

Aqui está algo que eu tentei no Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10
Inquérito
fonte
1
O determinante mostra se uma matriz é regular ou singular. Não mostra se está bem ou mal condicionado.
Allan P. Engsig-Karup
5
A magnitude do determinante não pode refletir o mau condicionamento: mas . det ( A - 1 ) = ( det A ) - 1κ(A)=κ(A1)det(A1)=(detA)1
faleichik
Deve haver um ou algum lugar?
Inquérito
3
Se você estiver interessado em aprender mais sobre os efeitos da matemática de ponto flutuante nos espectros de matriz, consulte o livro de Nick Trefethen: Spectra and Pseudospectra: O Comportamento de Matrizes e Operadores Não Normais e o Pseudospectra Gateway .
Aron Ahmadia

Respostas:

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É a grandeza do número de condição que mede a proximidade da singularidade, não a pequenez do determinante.κ(A)

Por exemplo, a matriz diagonal possui determinante minúsculo, mas está bem condicionada.1050I

Por outro lado, considere a seguinte família de matrizes triangulares quadradas superiores, devido a Alexander Ostrowski (e também estudado por Jim Wilkinson):

U=(122121)

O determinante da matriz é sempre , mas a proporção do maior para o menor valor singular (ou seja, o número da condição de 2 normas ) foi mostrado por Ostrowski como sendo , o que pode ser visto aumentando com o aumento de .U 1 κ 2 ( U ) = σ 1n×nU1 berço2πκ2(U)=σ1σn ncot2π4nn

JM
fonte
1
@ Não tóxico: certamente não; antes de iniciar os detalhes, você já está familiarizado com a decomposição de valor singular?
JM
2
Muito bom. É tudo o que você precisa saber. A idéia é que informações muito importantes sobre o condicionamento estejam concentradas em . Em particular, você deve procurar os valores maiores e menores (lembre-se de que a decomposição é definida de modo que as entradas diagonais de sejam não-negativas) na diagonal da matriz. A proporção entre a maior e a menor entrada diagonal é o número da condição . O tamanho do número de condição que você deve se preocupar com depende da máquina em seu trabalho ...Σ kΣΣκ
JM
2
... mas, em geral, ao resolver equações lineares com essa matriz, você perde os dígitos base- em sua solução. Essa é uma regra prática para o número da condição; portanto, se você estiver trabalhando com apenas 16 dígitos, um de deve ser motivo de preocupação. b κ 10 1 3logbκbκ1013
JM
1
Sim, mas esse não é o método recomendado para determinar o número da condição (cuja explicação é para outra pergunta). Presumo que você saiba como inverter uma matriz diagonal, não?
JM
2
"Infelizmente, a perda de dígitos, você poderia me dar uma referência para isso?" - Eu poderia, mas essa é realmente uma daquelas coisas que você deveria experimentar por conta própria em um ambiente de computação para reforço.
JM
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Como , o determinante pode ser arbitrariamente grande ou pequeno através de um simples redimensionamento (que não altera o número da condição). Especialmente em altas dimensões, mesmo a escala por um fator inocente de 2 altera o determinante em uma quantidade enorme.det(kA)=kndetA

Portanto, nunca use o determinante para avaliar a condição ou a proximidade da singularidade.

Por outro lado, para quase todos os problemas numéricos bem colocados, a condição está intimamente relacionada à distância da singularidade, no sentido da menor perturbação relativa necessária para tornar o problema mal colocado. Em particular, isso vale para sistemas lineares.

Arnold Neumaier
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