Runge-Kutta e reutilização de dados

Eu estou tentando implementar a quarta ordem método de Runge-Kutta para resolver um primeiro ODE ordem em Python ou seja, . Eu entendo como o método funciona, mas estou tentando escrever um algoritmo eficiente que minimize o número de vezes quef(x,y)é calculado, pois isso é bastante caro. Disseram-me que é possível reutilizar pontos de dados que foram calculados anteriormente à medida que você aumenta as etapas, mas não consegue ver como. Alguém sabe como fazer isso ou não é possível?$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$f(x,y)$

Se você está indo de yp_1 = f(x_1, y_1)que yp_2 = f(x_1+h, y_2)você vai precisar os pontos intermediários:

K1 = f(x_1+h/2, y_1+h/2*yp_1)
K2 = f(x_1+h/2, y_1+h/2*K1)
K3 = f(x_1+h, y_1+h*K2)

x_2 = x_1 + h
y_2 = y_1 + h/6*(yp_1+2*K1+2*K2+K3)
yp_2 = f(x_2, y_2)

Em geral, nenhum dos pontos intermediários é útil na próxima etapa. Porque K1<> K2e K3<> yp_2.

$N$ $N$$N=4$$N$

Se você quiser reutilizar avaliações de funções anteriores, precisará usar um método de várias etapas, como Adams-Bashforth.

De qualquer forma, você paga por cada estratégia. Os métodos de etapa única requerem o maior número de avaliações de funções, mas os métodos de várias etapas têm o maior requisito de memória.

Editar: Correção. Minha afirmação é verdadeira apenas para métodos explícitos. A situação é menos clara para métodos implícitos, pois o número de estágios não se traduz diretamente no número de avaliações de funções.

Sei que você está usando métodos Runge-Kutta para resolver sua ODE, mas se você deseja reutilizar valores calculados antigos de seu f (x, y), convém considerar métodos de várias etapas, como Adams-Bashforth ou Adams-Moulton métodos. Obviamente, a desvantagem desses métodos é que você não pode usar o tempo adaptativo muito facilmente.

Por favor, verifique os métodos "incorporados": o objetivo neste tipo de métodos RK é ter dois métodos com ordens diferentes, onde o método de ordem superior usa as mesmas avaliações de função que o método de ordem baixa. Isso permite uma estimativa de erro muito eficiente. Veja a p.165 e mais em "Resolvendo Equações Diferenciais Ordinárias I: Problemas não-rígidos", de Hairer, Norsett e Wanner. Exemplos típicos são os métodos de Fehlberg da ordem 7 (8).

Além disso, se você estiver procurando resolver ODEs no PYTHON, consulte o assimulo . Eu jogo com este pacote há algumas semanas e estou muito feliz.