Avaliando integrais oscilatórias com muitos períodos independentes e sem formas fechadas

9

A maioria dos métodos para integrais oscilatórias que conheço lida com integrais da forma onde

f(x)eEuωxdx
é grande.ω

Se eu tiver uma integral da forma onde g k são funções oscilatórias cujas raízes são conhecidas apenas aproximadamente, mas algum tipo de forma assintótica g k ( x ) e i ω k x é conhecido, com as frequências ω k

f(x)g1 1(x)gn(x)dx,
gk
gk(x)eEuωkx
ωk diferentes (e linearmente independentes) , então como posso avaliar essa integral?Q

Diferentemente do caso de , as integrais polinomiais x ag k ( x ) não são conhecidas, portanto, não posso construir um conjunto de interpolantes polinomiais para feEuωxxumagk(x) e integrar exatamente os interpolantes.f(x)

Na minha problema exato, 's são funções de Bessel J 0 ( ω k x ) , e f ( x ) = x α , e a região de integração é [ 0 , ) . O método que estou usando agora é somar contribuições integrais ao longo de intervalos [ x k - 1 , x k ] entre raízes até algum ponto de corte M e , em seguida, usar a expansão assintótica para g k ( xgkJ0 0(ωkx)f(x)=xα[0 0,)[xk-1 1,xk]M para grandesgk(x) . A complexidade de tempo desse algoritmo é exponencial emtermos totais; termos de poda muito pequenos não reduzem o tempo de execução suficiente para tornar isso viável para n grandes.x porque envolve a expansão do produto g 1g n , cada um dos quais com um número r de termos assintóticos, fornecendo r nng1 1...gnrrnn

Respostas, sugestões e referências não rigorosas heurísticas são bem-vindas.

Kirill
fonte

Respostas:

1

Eu trabalhei em integrais mais simples, onde existem pontos de fase estacionária. Eu encontrei dois métodos que funcionam muito bem.

Uma é a introdução de um fator de amortecimento exponencial que depende da função da fase, um tipo de viscosidade artificial, se você preferir.

Outra técnica (onde existem vários pontos de fase estatística) foi descrita em:

Tuck, EO, Collins, JL e Wells, WH, "Sobre as ondas dos navios e seus espectros", Journal of Ship Research, pp. 11–21, 1971.

Esse método aplica fatores de decaimento exponencial ao integrando, onde ele se oscila rapidamente para longe do stat. pontos de fase, mas deixa o integrando intacto onde não está.

Esse sou eu sem idéias!

Lisístrata
fonte
Obrigado, mas não vejo bem como isso funcionaria nesse caso. Por um lado, não há pontos de fase estacionária na linha real, e as contribuições das oscilações são significativas para o valor final, portanto, não devem ser amortecidas.
Kirill
1

Desde que você tenha valores precisos para as raízes (ou extremos) da parte oscilatória do seu integrando, o método de Longman (como descrevi nesta resposta ) permanece aplicável. Tudo o que você precisa fazer é avaliar um monte de integrais com intervalos entre as raízes usando seu método de quadratura favorito e tratar essas integrais como os termos de algumas séries alternadas. Você pode usar qualquer número de métodos de aceleração de convergência (Euler, Levin, Weniger etc.) para "somar" essa série alternada.

Como exemplo, nesta resposta math.SE , avaliei uma integral infinita cuja parte oscilatória é um produto de duas funções de Bessel.

JM
fonte
Não importaria que as raízes estivessem espaçadas irregularmente (todos os períodos são irracionais e independentes)? Por que você confiaria na aceleração da convergência para uma sequência tão irregular?
Kirill
Isso foi há um tempo atrás, eu queria avaliar a integral em mil dígitos e se me lembro da quadratura oscilatória correta foi realmente a primeira coisa que tentei. Não me lembro dos resultados, mas não acho que funcionou bem na época.
Kirill
"Por que você confiaria na aceleração da convergência para uma sequência tão irregular?" - Eu não confiaria em apenas um acelerador. Mas, se pelo menos três aceleradores diferentes estiverem me dando resultados consistentes, acho que os dígitos que obtive são pelo menos plausíveis. FWIW, usei Longman para integrais infinitas de produtos das funções de Bessel, e nunca me decepcionei, principalmente ao usar a transformação de Weniger como acelerador.
JM
xumaebx
Se você pode fazer uma expansão de Fourier (generalizada), com certeza.
JM