Bracketing de uma descontinuidade em uma função step

Eu tenho a função

,$f(x) = \begin{cases} 0 \:\: (x < a) \\ 1/2 \:\: (x = a)\\ 1 \:\: (x > a) \end{cases}$

onde é desconhecido. Posso calcular a função para qualquer valor de x e procurar determinar a (com algum grau de precisão).$a$$x$$a$

Dado um colchete inicial , subdivido o colchete definindo$x_{0} < a < x_{1}$

$x_{2} := \frac{x_{0}+x_{1}}{2}$

e computando . Então eu tenho x 0 < a < x 2 ou x 2 < a < x 1 . Eu poderia continuar com essa abordagem até que os valores de bracketing concordem com alguma precisão e, assim, resolva para a .$f(x_{2})$$x_{0} < a < x_{2}$$x_{2} < a < x_{1}$$a$

Existe um algoritmo mais eficiente?

Não. Embora a questão seja formulada em termos de aritmética de ponto flutuante, essa é, no fundo, uma questão sobre pesquisa binária. A pesquisa binária é um algoritmo ideal entre algoritmos que dependem de uma árvore de decisão (por exemplo, https://stackoverflow.com/q/4571478/491171 ). Qualquer manual de estruturas de dados e algoritmos deve discutir isso.

$a$$n=|\mathit{high}-\mathit{low}|/\epsilon_{\mathrm{mach}}$$n$$\sim \log_2 n$$\log_2 n$$a$

$a$

$f$$P$$P+1$$2$