Quais métodos numéricos preservam a simetria de inversão de tempo?

Se eu tenho um sistema físico que contém uma simetria de inversão do tempo (por exemplo, um Hamiltoniano com real) e quero resolver as equações diferenciais que descreva esse sistema, qual solucionador de ODEs devo usar para manter a simetria de inversão de tempo (por exemplo, no mathematica)? Quais solucionadores quebram essa simetria? $H(x,p)=p^2/2m + V(x)$ $V(x)$

Edição: Eu quero estender esta pergunta. Vamos considerar um sistema de equações diferenciais de primeira ordem acopladas Qual método de integração é melhor usado se o sistema subjacente contiver uma simetria de reversão de tempo?

{\dot{a}}_{1} (t) = f_{1} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{2} (t) = f_{2} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{3} (t) = f_{3} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) ⋮

$\dot{a}_1 (t) = f_1(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_2(t) = f_2(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_3(t) = f_3(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \vdots$

ode time-integration symmetry Merlin1896
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Eu acho que um integrador Simplético pode fazer o truque. Por exemplo, o integrador Verlet .

nicoguaro

@nicoguaro Como pretendia usar o mathematica: existe um método Verlet incluído?

Merlin1896

Eu mal usei o Mathematica. Você pode verificar esta publicação

nicoguaro

A resposta de @nicoguaro (nos comentários) está correta. Selecione.

Inon 15/12/15

@RM está faltando um comentário "não" no seu comentário anterior?

Federico Poloni

Respostas:

O que geralmente se quer nessa situação é preservar um analógico discreto da simetria do tempo: a saber, se a discretização do tempo for aplicada para resolver primeiro o avanço e o retrocesso no tempo, a condição inicial é recuperada. Isso ocorre se o método for invariável nas seguintes substituições:

Δ t \to - Δ t

$\Delta t \to -\Delta t$

a^{n + j} \to a^{n - j}

$a^{n+j} \to a^{n-j}$

(aqui é a aproximação numérica da solução , portanto a segunda substituição está implícita na primeira). $a^n$ $a(t^n)$

Vou dar dois exemplos para ilustrar. O método explícito de Euler não preserva a simetria do tempo; aplicado ao contrário no tempo, torna-se o método implícito de Euler: Por outro lado, o método do ponto médio (ou salto ) preserva a simetria de inversão de tempo. Outros métodos conhecidos que preservam a simetria de reversão de tempo incluem o método trapezoidal e (como mencionado nos comentários) o método Verlet.

a^{n + 1} = a^{n} + Δ t f (a^{n})

$a^{n+1} = a^n + \Delta t f(a^n)$

a^{n} = a^{n - 1} + Δ t f (a^{n}) .

$a^n = a^{n-1} + \Delta t f(a^n).$

a^{n + 1} = a^{n - 1} + 2 Δ t f (a^{n})

$a^{n+1} = a^{n-1} + 2\Delta t f(a^n)$

David Ketcheson
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