Existe um algoritmo numérico para encontrar uma inclinação assintótica?

Eu tenho uma série de pontos de dados que espero (aproximadamente) seguir uma função que assintota uma linha em geral . Essencialmente, aproxima de zero como , e provavelmente o mesmo pode ser dito de todas as derivadas , , etc. Mas não sei qual é a forma funcional de f (x) , se ela possui uma que possa ser descrita em termos de funções elementares.$(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$f ( x $f''(x)$$f(x)$

Meu objetivo é obter a melhor estimativa possível da inclinação assintótica $a$ . O método óbvio é escolher os últimos pontos de dados e fazer uma regressão linear, mas é claro que isso será impreciso se $f(x)$ não se tornar "plano o suficiente" dentro do intervalo de $x$ para o qual tenho dados. O método menos grosseiro óbvio é assumir que $f(x) \approx \exp(-x)$ (ou alguma outra forma funcional específica) e se ajuste a isso usando todos os dados, mas as funções simples que tentei como $\exp(-x)$ ou $\dfrac1{x}$ não correspondem exatamente aos dados no x mais baixo, $x$onde $f(x)$é grande. Existe um algoritmo conhecido para determinar a inclinação assintótica que faria melhor, ou que poderia fornecer um valor para a inclinação junto com um intervalo de confiança, dada a minha falta de conhecimento de como exatamente os dados se aproximam da assíntota?

Esse tipo de tarefa tende a aparecer com frequência em meu trabalho com vários conjuntos de dados, por isso estou interessado principalmente em soluções gerais, mas, mediante solicitação, estou vinculando ao conjunto de dados específico que levou a essa pergunta. Conforme descrito nos comentários, o algoritmo Wynn $\epsilon$ fornece um valor que, até onde eu sei, está um pouco errado. Aqui está um enredo:

(Parece que há uma ligeira curva descendente com altos valores de x, mas o modelo teórico para esses dados prevê que deve ser assintoticamente linear.)

É um algoritmo bastante grosseiro, mas eu usaria o seguinte procedimento para uma estimativa grosseira: se, como você diz, o suposto que representa seu já é quase linear à medida que aumenta, o que eu quero ' d fazer é pegar diferenças e, em seguida, use um algoritmo de extrapolação como a transformação Shanks para estimar o limite das diferenças. Esperamos que o resultado seja uma boa estimativa dessa inclinação assintótica.( x i , y i ) x y i + 1 - y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

O que segue é uma demonstração do Mathematica . O algoritmo Wynn é uma implementação conveniente da transformação Shanks e é incorporado como a função (oculta) . Tentamos o procedimento na função$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

Eu também poderia mostrar como o algoritmo é simples:

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

Esta implementação é adaptada do artigo de Weniger .