Em que circunstâncias a integração de Monte Carlo é melhor do que quase Monte Carlo?

Uma pergunta bastante simples: fazer uma integral multidimensional, considerando que alguém decidiu que algum tipo de método de Monte Carlo é apropriado, existe alguma vantagem de que uma integração regular de MC usando números pseudo-aleatórios tenha uma integração quase-Monte Carlo usando uma sequência quase aleatória ? Se sim, como eu reconheceria situações em que essa vantagem entraria em jogo? (E se não, por que alguém usa a integração simples e antiga de Monte Carlo?)

As simulações de Monte Carlo são o método de escolha para o cálculo da dispersão de elétrons. Truques como a amostragem de importância são usados ​​algumas vezes, então você pode dizer que não é um simples Monte Carlo antigo. Mas o ponto principal é provavelmente que um processo inerentemente estocástico é simulado aqui, enquanto você está perguntando apenas sobre o uso de Monte Carlo para integração.

Como ninguém mais tentou oferecer uma resposta, deixe-me tentar expandir um pouco minha resposta. Suponha que tenhamos uma simulação de espalhamento de elétrons, onde apenas um número, como um coeficiente de retroespalhamento, é computado. Se reformularmos isso como uma integral multidimensional, provavelmente seria uma integral dimensional infinita. Por outro lado, durante a simulação de uma única trajetória, apenas um número finito de números aleatórios é necessário (esse número pode se tornar bastante grande, se a geração secundária de elétrons for levada em consideração). Se usássemos uma sequência quase aleatória como a amostragem de hipercubo latino, teríamos que usar uma aproximação com um número fixo de dimensões e gerar um número aleatório para cada dimensão para cada ponto de amostra.

Então eu acho que a diferença é se algum tipo de hipercubo de alta dimensão é amostrado, versus uma nuvem de probabilidade dimensional infinita em torno da origem.

Algumas das minhas pesquisas envolvem a solução de equações diferenciais parciais estocásticas em larga escala. Nesse caso, a aproximação tradicional da integral de interesse de monte carlo converge muito lentamente para que valha a pena em um sentido prático ... ou seja, eu não quero ter que executar 100 vezes mais simulações apenas para obter um ponto decimal mais preciso para a integral. Em vez disso, costumo usar outros métodos, como grades esparsas de smolyak, porque oferecem melhor precisão em menos avaliações de funções. Isso só é possível porque posso assumir um certo grau de suavidade na função.

É razoável supor que, se você espera que a função que você está integrando tenha certa estrutura (como suavidade), seria melhor usar o esquema de quase monte carlo que a explora. Se você realmente não pode fazer muitas suposições sobre a função, então monte carlo é a única ferramenta em que posso pensar para lidar com isso.

As vantagens da integração tradicional Monte-Carlo sobre a integração quase-Monte Carlo são discutidas no artigo de Kocis e Whiten aqui . Eles listam os seguintes motivos:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  Infelizmente, a discrepância teórica vinculada às seqüências existentes não é utilizável para valores moderados e grandes de s. A outra opção, uma avaliação numérica da discrepância em estrela de uma sequência para s grandes, requer um esforço computacional excessivo e é muito difícil obter estimativas numéricas razoáveis ​​dessas discrepâncias.

  Com a integração tradicional de Monte-Carlo, podemos especificar uma meta de erro e aguardar, porque o erro associado é facilmente computável. Com o QMC, precisamos especificar várias avaliações de funções e esperar que o erro esteja dentro do nosso objetivo. (Observe que existem técnicas para superar isso, como quase-Monte Carlo randomizado, onde várias estimativas quase-Monte Carlo são usadas para estimar o erro.)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Para que o Monte-Carlo derrote o Monte-Carlo tradicional, o integrando deve ter "baixa dimensão efetiva". Veja o artigo de Art Owen sobre este assunto aqui .