PDEs em várias dimensões

Eu sei que a maioria dos métodos para encontrar soluções aproximadas para os PDEs se dimensiona mal com o número de dimensões e que Monte Carlo é usado para situações que exigem ~ 100 dimensões.

Quais são os bons métodos para resolver eficientemente numericamente PDEs em ~ 4-10 dimensões? 10-100?

Além de Monte Carlo, existem métodos que escalam bem com o número de dimensões?

Uma maneira mais estruturada de fornecer uma base ou quadratura (que pode substituir o MC em muitos casos) em múltiplas dimensões é a de redes esparsas , que combina uma família de regras unidimensionais de ordem variável, de modo a ter um crescimento meramente exponencial. dimensão, , em vez de que essa dimensão seja um expoente da resolução N d .$2^d$$N^d$

Isso é feito através do que é conhecido como quadratura Smolyak, que combina uma série de regras unidimensionais como$Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Isso é equivalente ao espaço em quadratura do produto tensorial, com as altas ordens mistas removidas do espaço. Se isso for feito de maneira suficientemente severa, a complexidade poderá ser bastante aprimorada. No entanto, para que se possa fazer isso e manter uma boa aproximação, a regularidade da solução deve ter derivados mistos que desaparecem suficientemente.

As redes esparsas foram espancadas até a morte pelo grupo Griebel por coisas como a equação de Schrödinger no espaço de configuração e outras coisas de alta dimensão com bons resultados. No aplicativo, as funções básicas usadas podem ser bastante gerais, contanto que você possa aninhá-las. Por exemplo, ondas planas ou bases hierárquicas são comuns.

Também é bastante simples codificar você mesmo. Da minha experiência, realmente fazê-lo funcionar para esses problemas, no entanto, é muito difícil. Existe um bom tutorial .

Para problemas cujas soluções residem em espaços especializados de Sobolev, com derivativos que morrem rapidamente, a abordagem de grade esparsa pode gerar resultados ainda maiores .

Veja também o artigo de revisão da Acta Numerica, discretizações por tensores esparsos de PDEs paramétricos e estocásticos de alta dimensão .

Como regra geral, é fácil entender por que as grades regulares não podem ir muito além dos problemas tridimensionais ou tridimensionais: nas dimensões d, se você quiser ter um mínimo de N pontos por direção de coordenada, obterá N ^ d pontos no geral. Mesmo para funções relativamente boas em 1d, você precisa de pelo menos N = 10 pontos de grade para resolvê-los, de modo que o número total de pontos será 10 ^ d - ou seja, mesmo nos maiores computadores que você provavelmente não vai além de d = 9 e provavelmente não irá muito além do que nunca . As redes esparsas podem ajudar em algumas circunstâncias, se a função solução tiver certas propriedades, mas, em geral, você terá que conviver com as conseqüências da maldição da dimensionalidade e seguir os métodos MCMC.

$d=4,...,100$$d=100,101,...\infty$