integração numérica com possível divisão por 'zero'

Estou tentando integrar

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

que é uma simples transformação de

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

usando porque é difícil aproximar numericamente integrais impróprias. No entanto, isso leva ao problema de avaliar o novo integrando próximo de zero. Será muito fácil obter o número adequado de nós de quadratura, visto que o intervalo tem apenas o comprimento 1 (para que o comparável possa ser muito pequeno), mas que tipo de considerações devo fazer ao integrar perto de zero? $t = \frac1{x}$ $dt$

Em algum nível, acho que simplesmente tomar é uma boa ideia onde é um número pequeno . No entanto, qual número devo escolher? Deveria ser máquina epsilon? A divisão por máquina epsilon é um número bem quantificado? Além disso, se a divisão epsilon da minha máquina (ou próximo a ela) fornecer um número incrivelmente grande, a obtenção de se tornará ainda maior. $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

Como devo explicar isso? Existe uma maneira de ter uma integral numérica bem definida dessa função? Caso contrário, qual é a melhor maneira de integrar a função?

quadrature accuracy drjrm3
fonte

Você já pensou em usar Monte Carlo?

Faheem Mitha

Eu sinto que isso não resolveria o problema. A integração de Monte Carlo costuma ser reservada para integrais de alta dimensão. Eu teria exatamente os mesmos problemas com Monte Carlo, simplesmente teria menos controle sobre onde minha função está sendo avaliada.

drjrm3

Você pode estar certo.

Faheem Mitha

Eu acho que ainda seria bom ter uma resposta (talvez para uma pergunta separada e mais geral) explicando como se faz a integração numérica quando a função é divergente em um limite, para o caso geral em que não é possível fazer a integral analiticamente. Então, novamente, que poderia muito bem ser encontradas no Numerical Recipes ...

David Z

@ Faaem: "Monte Carlo é um método extremamente ruim; deve ser usado apenas quando todos os métodos alternativos forem piores." - Alan Sokal

Respostas:

\int_{1}^{\infty} x e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{a} \int_{1}^{\infty} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{e^{- a}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}} e^{- a}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$

\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x^{k} e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$

I (k) = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} I (k - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

Matt Knepley
fonte

absolutamente nenhuma idéia de como eu ignorei isso. obrigado.

drjrm3

Substituições inteligentes e integração por partes devem sempre ser uma das primeiras coisas que você faz com integrais indisciplinadas.

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$

Erik P.

Na verdade, o Mathematica escolhe representar a resposta como ExpIntegralE [-2 n, ar]. Se você executar o FunctionExpand, ele fornecerá a mesma resposta que o Maple.

Searke

Dê uma olhada no QUADPACK . Possui rotinas para integração em domínios (semi-) infinitos.

GertVdE
fonte