Como a teoria funcional da densidade é dimensionada com o tamanho do sistema?

Teoricamente, como o tempo para fazer um cálculo da teoria funcional da densidade (DFT) com o número de elétrons? Estou interessado em implementações "típicas" de DFT, como VASP, ABINIT, etc., não códigos O (N).

A resposta correta mais simples é que a DFT está em . Isso deriva da ideia de que você está diagonalizando um Hamiltoniano com dimensão proporcional ao número de eleições e a diagonalização é tecnicamente .O ( n 3$O(N_e^3)$$O(n^3)$

Na realidade, a DFT é um monte de etapas e etapas diferentes limitam a taxa em diferentes contextos. Se nos restringirmos ao DFT de onda plana (PW) (VASP, ABINIT, QE e outros), poderemos fazer algumas afirmações mais fortes. Uma idéia importante a entender para os códigos PW DFT é que o Hamiltoniano nunca é armazenado como uma grande matriz; em vez disso, a ação do operador hamiltoniano é calculada e usada no que geralmente são diagonalizadores iterativos `internos '(gradiente conjugado, davidson, etc.). Esses diagonalizadores são formalmente , onde é o custo de calcular a ação do Hamiltoniano, mas, dado seu papel em um algoritmo autoconsistente maior, eles tendem a ter um desempenho muito mais rápido.M $O(n_e MV)$$MV$

O processo de calcular a ação do Hamiltoniano ocorre em algumas etapas:

• O potencial local no espaço real requer uma FFT,$O(n_v \ln n_v)$
• A projeção pode ocorrer no espaço real ou g, ou , respectivamenteO ( n a n p n v$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p n_v)$
• O potencial não local é diagonal ou diagonal do bloco, ou , respectivamenteO ( n a n 2 p$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p^2)$

tudo isso precisa acontecer uma vez por elétron (na verdade, função de onda); portanto, adicione um fator de a todos eles.$n_e$

Por alguns meios (Gram-Schmidt, por exemplo), as funções de onda (funções próprias do Hamiltoniano) devem ser mantidas ortogonais entre si,$O(n_e^2 n_v)$

Finalmente, as funções de onda precisam ser compostas em uma densidade de elétrons. Nos códigos PW, isso é realizado com uma última FFT por função de onda (e uma soma), .$O(n_e n_v \ln n_v)$

Observe que eu coloquei alguns 's diferentes : está relacionado ao volume (realmente, é o tamanho da base), é o número de projetores por átomo, é o número de átomos e o número de elétrons. Formalmente , e são linearmente relacionados entre si ( é um número inteiro pequeno), mas você pode imaginar aumentando o volume com número fixo de elétrons (adicionando vácuo nas geometrias da laje / fio) ou aumentando o número de projetores com número fixo de átomos e elétrons (usando um pseudo-potencial mais preciso).n v n p n a n e n v n a n e n $n$$n_v$$n_p$$n_a$$n_e$$n_v$$n_a$$n_e$$n_p$

É comum que os problemas sejam limitados pela FFT; nesse caso, eles são efetivamente , que é uma resposta um tanto comum na literatura, se não tecnicamente correta.$O(n^2 \ln n)$