Estou apenas me perguntando se o Cálculo Externo Discreto, como um novo método numérico, é bom para resolver problemas numéricos - em elasticidade, fluidos ou outras áreas físicas / reais.
Falando de um background eletromagnético computacional, acho que é uma maneira muito elegante de discretizar problemas. Eu o usei com sucesso em problemas de modo próprio e de valor limite. Provavelmente é menos preciso do que uma discretização estrita de elementos finitos se você usar estrelas Hodge diagonais (aproximação de massa concentrada), mas acho que ainda alcança a mesma taxa de convergência assintótica se você calcular suas estrelas Hodge com cuidado (provavelmente é mais complicado em eletromagnética do que em Mecânica de continuidade). Portanto, é provavelmente apenas um pequeno fator constante pior (em teoria, na prática, pode ser insignificante).
O DEC simplifica bastante as formulações dos problemas e permite que você se concentre mais na física do problema. A construção das estrelas Hodge obriga a pensar sobre o significado das relações constitutivas e qual é a maneira fisicamente significativa de realizar médias espaciais. Também parece preservar muitas das simetrias importantes dos problemas contínuos em um ambiente discreto, e pode ser mais fácil provar isso do que em um ambiente de elementos finitos.
Finalmente, como alguém que escreve código, eu aprecio não ter que executar quadratura durante a montagem da matriz. Em vez disso, você normalmente pode calcular as estrelas Hodge usando médias espaciais analíticas usando formas assumidas de variação espacial. Na eletromagnética, onde temos propriedades de material constantes ao longo do espaço, essas médias podem ser calculadas exatamente, tornando todo o problema suave em relação a pequenas perturbações na geometria espacial. Isso ajuda muito em qualquer otimização que você queira incluir em seu método.
Essa resposta está atrasada alguns anos, mas sinto que essas perguntas ainda são relevantes hoje. Nos últimos anos, novas aplicações do DEC apareceram em áreas como computação gráfica, processamento de geometria, equações de Navier-Stokes e fluxo de Darcy. Na introdução do artigo sugerido abaixo, você encontrará uma rápida visão geral dos campos (incluindo elasticidade linear, eletrodinâmica e integradores variacionais) nos quais o DEC foi usado (alguns dos autores citados são bastante ativos na literatura sobre DEC).
Como timur disse em uma resposta no blog mathoverflow, a convergência pode ser obtida em casos especiais, relacionando o DEC com outros métodos conhecidos por convergir. No entanto, tentativas sérias de desenvolver uma estrutura geral para resolver problemas de convergência foram realizadas. Recentemente, comprovamos a convergência das soluções DEC para o problema de Poisson (em funções, isto é, formas 0) em dimensão arbitrária na discreta norma L2. Muitos problemas e questões relacionadas ao comportamento assintótico das soluções discretas em outras normas permanecem em aberto, mas o seguinte é um passo bem-vindo em direção a um melhor entendimento da teoria: https://arxiv.org/abs/1611.03955 (Convergência do exterior discreto) Aproximações de cálculo para problemas de Poisson, Erick Schulz e Gantumur Tsogtgerel, 2016).
O Cálculo Externo Discreto (DEC) tem prós e contras:
Prós:
Facilidade de "uso" Para um aluno, é bastante fácil montar uma discretização e um solucionador para um PDE simples, por exemplo, Laplace / Poisson em superfícies curvas (Laplace Beltrami). Tornou o método muito popular em computação gráfica, depois do laboratório de geometria Caltech. fez alguns cursos na principal conferência gráfica (SIGGRAPH), consulte a referência em outra resposta. É especialmente o caso da computação gráfica, onde os alunos conhecem bem as matrizes, mas estão menos familiarizados com as integrais. Usando o DEC, eles podem "jogar lego" e resolver PDEs simples sem sofrer muito.
Simplificando alguns cálculos, DEC é uma emanação de EC (Exterior Calculus, inventado por Elie Cartan de 1899 a 1945). Central na CE, existe a noção de formas ("coisas a serem integradas") e cadeias ("domínios de integração"), e uma dualidade entre elas. Vários teoremas (Stokes, Green-Gauss, Ostrogradsky e o teorema fundamental da análise) são um caso especial dessa dualidade. Não apenas isso é elegante, mas também simplifica os cálculos em alguns casos (como em eletromagnética) e evita a referência à parametrização dos objetos em muitos casos (por exemplo, ao manipular campos vetoriais sobre superfícies ou na configuração de espaço-tempo curvada da relatividade).
Exibindo graus de liberdade não triviaisAo explicar a relação entre formas ("coisas a serem integradas") e cadeias ("domínios de integração"), o EC pode exibir parametrização não trivial de objetos, como campos vetoriais em superfícies, e explicar as relações entre a topologia do campo vetorial e a superfície subjacente (homologia: topologia de curvas traçadas na superfície, co-homologia: topologia de campos vetoriais), consulte [1] para um estudo aprofundado. Nós o usamos em [2,3] para estudar os graus topológicos de liberdade de campos vetoriais discretos. Um exemplo impressionante do poder desse tipo de raciocínio é a prova de Gortler et al. Do teorema de incorporação planar de Tutte [4]. Provas prévias desse teorema (de Tutte e, mais tarde, de Colin de Verdière) exigem um certo conhecimento sobre a teoria dos grafos. A prova de Gortler et. tudo é muito mais acessível,
Contras:
A versão simplificada do DEC promovida pelo laboratório de geometria Caltech. esconde muitos detalhes sob o capô. Embora seja correto derivar as equações de Laplace e Poisson nas configurações euclidiana e curva, alguns problemas são rapidamente encontrados ao se discretizar equações mais complicadas, porque não incita a fazer perguntas sobre a convergência para a configuração contínua e / ou as propriedades que são preservados pela discretização (identidades com div / grad / curl, conhecidas como complexo Hodge, estudadas por matemáticos como Jenny Harisson e Robert Kotiuga). A maneira como é usada na computação gráfica (principalmente para a equação de Laplace) não traz mais na maioria dos casos do que o clássico P1 FEM Laplaciano. Eu prefiro o clássico P1 FEM Laplaciano, porque ele fornece a fórmula da discretização e explica você
Conclusão / Resumo: CE e DEC são uma teoria poderosa para o estudo de problemas complicados (eletromagnética, campos vetoriais em superfícies de topologia arbitrária). A maneira como é usada na computação gráfica simplifica que estudantes que não conhecem integrais façam coisas simples. Para coisas simples, eu tendem a preferir a formulação clássica do MEF, onde o caminho completo da dedução é mais fácil de seguir da teoria até a discretização, juntamente com as garantias teóricas. Para coisas complicadas, pode ser muito elegante e eficiente (desde que todo o caminho do raciocínio seja preservado em vez de apenas "brincar de lego" com algumas formas da discreta estrela Hodge e da derivada externa discreta).
[1] Douglas Arnold, cálculo exterior de elementos finitos, 2006
[2] Projeto de campo de direção N-simetria, ACM Trans. Graph., 2008
[3] Processamento de campo de direção com reconhecimento de geometria, ACM Trans. Graph., 2009
[4] Uma prova elementar do Teorema de Incorporação Planar de Tutte, Gortler, Gotsmann, Thurston, 2006, Design Geométrico Assistido por Computador.
Eu diria que parece haver algum interesse, mas não está explodindo. É um volume finito demais para o meu gosto, mas sou uma pessoa de elementos finitos.
Eu ficaria muito interessado na resposta a esta pergunta no que diz respeito a um HPC e à computação científica geral, mas certamente houve muitos bons resultados em geometria computacional, por exemplo, em muitas das publicações e referências aqui: http: / /www.geometry.caltech.edu/pubs.html