Por que parte real da FFT converte a imagem em rotação + original?

Eu li esta imagem:

FFT (2D) e FFT inverso para recuperar exatamente a imagem. O código é fornecido para referência:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Mas quando troco o fourier e tomo apenas a parte real,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Eu obtenho uma imagem como esta ( observe que a alteração de tamanho é irrelevante e apenas devido a salvá-la do manipulador de figuras do Matlab ):

Alguém pode me explicar a teoria (matemática) por trás disso? obrigado

Digamos que sua imagem é dada por . Então sua transformada de Fourier é dada por I f ( ω x , ω y ) = ∫ x ∫ y I ( x , y ) e j ω x x e j ω y y d x d $I(x,y)$

$$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$$

Agora você pega a parte real e executa o inverso:

$$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$$

Você pode ver claramente que a integral interna é a transformada 2D de Fourier de

$$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$$ que é $$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$$

$I_m$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$$

$x,y>0$$N$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$$ $N,M$ são as dimensões da sua imagem. Eu acho que você pode ver agora porque conseguiu esse resultado.

O resultado fornecido pela ThP também pode ser declarado em termos muito simples: se você possui um conjunto de dados puramente real, sua transformação (inversa) de Fourier terá simetria hermitiana: se você encontrar o valor $z$ na posição $(x,y)$, você encontrará o valor conjugado complexo $z^*$ na posição refletida no ponto $(-x,-y)$sobre a origem. Observe que a origem aqui seria o centro do espaço de Fourier. Isso pode ser reformulado, é claro, se o componente DC não estiver no centro da sua implementação da FFT. E é isso que você vê na sua imagem: Uma versão refletida em pontos está sobrepondo a imagem verdadeira - porque você forçou um espaço a ser realmente valorizado.

Essa propriedade está realmente sendo usada para acelerar a ressonância magnética (RM) em alguns casos: a RM adquire os dados diretamente no espaço de Fourier. Como uma imagem MR ideal pode ser descrita apenas por valores reais (todos os vetores de magnetização animados têm a fase 0), você só precisa adquirir metade do espaço de dados, o que economiza metade do tempo de criação de imagens. Obviamente, as imagens de RM não são completamente valorizadas devido às limitações da realidade ... mas com alguns truques, você ainda pode usar essa técnica com vantagem.