Qual é um bom exemplo de um processo ergódico?

Estou tentando encontrar exemplos simples de um processo ergódico. Que processo vem à sua mente como uma boa ilustração de suas propriedades?

Uma pesquisa rápida ( Wikipedia , outra resposta ) fornece principalmente exemplos de processos não ergódicos. Além disso, estou me perguntando que fenômenos do mundo real se prestam a ser modelados como um processo ergódico?

Suponha que eu lhe forneça uma série de números e diga que eles foram escolhidos aleatoriamente. E você sabe que não estou tentando enganar você. Os números são: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Agora, proponho que você preveja o próximo, ou pelo menos, o mais próximo possível. Qual número você escolheria?

[Pensar]

[Calcular]

• Aposto que a maioria dos leitores provavelmente escolherá um número entre $0$ e $6$ . Por causa do espaço limitado.
• Talvez um número inteiro. Quem provavelmente proporá $\pi$ (mesmo pensando nos primeiros dígitos)?
• Possivelmente $2$ , $3$ ou $4$ . Talvez até $3$ .

Basicamente, você está assumindo que eu forneci números com alguma regra desconhecida. E talvez, você possa pensar (ou fazer a hipótese) de que a série de números fornecidos, se for longa o suficiente, pode fornecer uma boa compreensão das regras que tenho em mente. Se fizer isso, você supõe que meu processo mental é ergódico:

um processo em que cada sequência ou amostra considerável é igualmente representativa do todo (como em relação a um parâmetro estatístico) ( Merriam-Webster )

Aqui, não há como ter certeza de que minha série segue um processo ergódico. 3432 é o PIN do meu cartão, 3 um erro (eu pretendia 6, mas sou desajeitado), 4, 3, 1 e 5 são os primeiros dígitos de $\pi$ que uso com frequência. Meu próximo "número" seria C (em hexadecimal). Não acredito que esse processo seja ergódico. Cada número sai de leis diferentes. Mas honestamente, eu não sei. Talvez eu esteja sujeito a algumas forças de ordem superior que me conduzem sob regras de ergodicidade.

Portanto, ergodicidade é uma hipótese de uma espécie de "simplicidade" nas regras de um processo. Como estacionariedade ou escarsidade. Lance um dado regular com $6$ faces. Atire uma moeda normal. Se nada lá fora tentar influenciar o resultado (um ser invisível que apanha o dado e mostra alguma face de sua escolha), é provável que você produza um processo ergódico.

Em vez de poder jogar um número infinito de moedas, com seu número infinito de polegares, exatamente no mesmo segundo, você joga uma moeda a cada segundo e acredita que o resultado final é o mesmo.

O movimento browniano também possui propriedades ergódicas.

Do artigo da wikipedia:

um processo estocástico é considerado ergódico se suas propriedades estatísticas puderem ser deduzidas a partir de uma única amostra aleatória suficientemente longa e do processo.

Em outras palavras: as propriedades estatísticas do conjunto de tempo são iguais às propriedades estatísticas do conjunto de realização.

Talvez precisemos dar um passo atrás e conversar sobre o que é um processo estocástico, para começar.

Imagine que é um dia tempestuoso. Você senta em casa e olha pela janela. Ocasionalmente, você vê folhas sendo sopradas pela janela. Você obtém os marcadores do quadro branco e desenha um sistema de coordenadas na janela, para que você possa observar vários caminhos de folha e compará-los:

Assim, cada caminho é uma realização do processo estocástico "caminhos da folha em um dia tempestuoso".

$y$$x$

$x$$y$$x$

Geralmente é mais difícil entender o caso não ergódico (é por isso que as pessoas procuram exemplos de tais processos com mais frequência).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Em relação à segunda parte da sua pergunta, podemos usar a ergodicidade para simplificar os problemas. Por exemplo, entre a média do conjunto e a média de tempo, pode ser difícil ou até impossível de calcular (ou simular). Mas, como sabemos (ou assumimos) que o processo é ergódico (ou seja, eles são idênticos), apenas calculamos o que é mais simples. Como exemplo, posso pensar nos métodos de Monte Carlo (como aqueles que usamos para modelar o desempenho de erros de um sistema de comunicação) em que simulamos a cadeia de transmissão-recepção e a repetimos várias vezes e calculamos a média dos resultados para descobrir sobre o propriedades do conjunto (como a probabilidade de erro, etc.).