Gradiente da Variação Total da Magnitude da Função Complexa para Denoising

Digamos que tenho uma função complexa $f^*$ (por exemplo, uma imagem de ressonância magnética) que possui uma magnitude constante quase por peça, mas uma fase não constante.

Se eu tiver um problema de otimização para encontrar $f^*$ e configure uma função objetiva com um termo total de variação (por exemplo, para denoising ou sensor comprimido), geralmente tem a seguinte forma:

No entanto, desde que eu assumo que $f$ tem uma magnitude constante em partes, acho que seria melhor usar:

No entanto, para um solucionador baseado em gradiente, seria necessário conhecer o gradiente de obj2. O gradiente para$obj_1(f)$ é: $\text{TV}'\left(TV(f)\right)$. Qual é o gradiente de$obj_2(f)$?

Atualizar:

Intuitivamente, eu assumiria algo como o seguinte (uma vez que a fase não tem influência sobre $obj_2$, deixe a fase "intocada"):

No entanto, meu conhecimento em análises complexas é muito limitado e não tenho certeza se isso faz sentido.

O problema com $\left|f\right|$é que, como não é analítico, a definição padrão de derivada complexa não se aplica. Uma solução é usar os derivados Wirtinger:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wirtinger_derivatives

Uma descrição detalhada do cálculo de Wirtinger para problemas de processamento de sinal é

http://arxiv.org/abs/0906.4835

Outra opção (provavelmente mais simples) é tratar a imagem complexa como uma imagem de dois canais (real, imag) e usar a definição de derivada para campos vetoriais. Este artigo tem uma explicação muito clara de como fazer isso:

Lee, H.-C .; Cok, DR; "Detectando limites em um campo vetorial" (IEEE Transactions on Signal Processing, vol.39, no.5, pp.1181-1194, maio de 1991)