O que se entende por "resposta ao impulso" e "resposta em frequência" de um sistema?

Alguém pode afirmar a diferença entre resposta de frequência e resposta de impulso em inglês simples?

A resposta ao impulso e a resposta em frequência são dois atributos úteis para caracterizar sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) . Eles fornecem duas maneiras diferentes de calcular qual será a saída de um sistema LTI para um determinado sinal de entrada. Um sistema de LTI em tempo contínuo é geralmente ilustrado da seguinte maneira:

Em geral, o sistema mapeia seu sinal de entrada para um sinal de saída correspondente . Existem muitos tipos de sistemas LTI que podem aplicar transformações muito diferentes aos sinais que passam por eles. Mas, todos eles compartilham duas características principais:$H$$x(t)$$y(t)$

• O sistema é linear e , portanto, obedece ao princípio de superposição . Em resumo, se você combinar linearmente dois sinais e inseri-los no sistema, a saída será a mesma combinação linear do que as saídas teriam sido se os sinais fossem transmitidos individualmente. Ou seja, se mapeia para uma saída de e mapeia para uma saída de , então para todos os valores de e ,$x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• O sistema é invariante no tempo , portanto, suas características não mudam com o tempo. Se você adicionar um atraso ao sinal de entrada, basta adicionar o mesmo atraso à saída. Para um sinal de entrada que mapeia para um sinal de saída , para todos os valores de ,$x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

Os sistemas de LTI em tempo discreto têm as mesmas propriedades; a notação é diferente por causa da diferença discreta versus contínua, mas são muito parecidas. Essas características permitem que a operação do sistema seja diretamente caracterizada usando suas respostas de impulso e frequência. Eles fornecem duas perspectivas sobre o sistema que podem ser usadas em diferentes contextos.

Resposta de impulso:

O impulso referido no termo resposta ao impulso é geralmente um sinal no domínio do tempo de curta duração. Para sistemas de tempo contínuo, esta é a função delta Dirac , enquanto que para sistemas com tempo discreto, a função delta Kronecker é normalmente usada. A resposta de impulso de um sistema (geralmente anotada como para sistemas de tempo contínuo ou para sistemas de tempo discreto) é definida como o sinal de saída que resulta quando um impulso é aplicado à entrada do sistema.$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

Por que isso é útil? Permite prever como será a saída do sistema no domínio do tempo. Lembra das propriedades de linearidade e invariância de tempo mencionadas acima? Se pudermos decompor o sinal de entrada do sistema em uma soma de vários componentes, a saída será igual à soma das saídas do sistema para cada um desses componentes. E se pudéssemos decompor nosso sinal de entrada em uma soma de impulsos escalonados e com deslocamento de tempo? Em seguida, a saída seria igual à soma das cópias da resposta ao impulso, redimensionadas e deslocadas no tempo da mesma maneira.

Para sistemas de tempo discreto, isso é possível, porque você pode gravar qualquer sinal como uma soma das funções delta do Kronecker escaladas e com desvio de tempo:$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

Cada termo na soma é um impulso escalado pelo valor de naquele instante. O que obteríamos se passássemos através de um sistema LTI para produzir ? Simples: cada impulso escalado e com atraso de tempo que colocamos produz uma cópia escalada e com atraso de tempo da resposta ao impulso na saída. Isso é:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

onde é a resposta ao impulso do sistema. A equação acima é o teorema da convolução para sistemas LTI em tempo discreto. Ou seja, para qualquer sinal que é inserido em um sistema LTI, a saída do sistema é igual à convolução discreta do sinal de entrada e à resposta de impulso do sistema.$h[n]$$x[n]$$y[n]$

Para sistemas de tempo contínuo, a decomposição direta acima não é possível em um sentido matemático estrito (o delta do Dirac tem largura zero e altura infinita), mas no nível da engenharia, é uma maneira aproximada e intuitiva de analisar o problema. Um teorema de convolução semelhante vale para estes sistemas:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

onde, novamente, é a resposta ao impulso do sistema. Existem várias maneiras de derivar esse relacionamento (acho que você poderia argumentar semelhante ao acima, alegando que as funções do Dirac delta em todos os turnos do tempo constituem uma base ortogonal para o espaço Hilbert, observando que você pode usar o a propriedade sifting da função delta para projetar qualquer função em nessa base, permitindo que você expresse as saídas do sistema em termos das saídas associadas à base (ou seja, respostas de impulso com deslocamento de tempo), mas eu não sou um matemático licenciado, então eu vou deixar isso de lado). Um método que depende apenas das propriedades do sistema LTI acima mencionadas é mostrado aqui .$h(t)$$L^2$$L^2$

Em resumo: Para sistemas de tempo discreto e contínuo, a resposta ao impulso é útil porque nos permite calcular a saída desses sistemas para qualquer sinal de entrada; a saída é simplesmente o sinal de entrada convolvido com a função de resposta ao impulso.

Resposta de freqüência:

A resposta de frequência de um sistema LTI fornece uma função semelhante: permite calcular o efeito que um sistema terá sobre um sinal de entrada, exceto que esses efeitos são ilustrados no domínio da frequência . Lembre-se da definição da transformação de Fourier :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Mais importante, para o propósito desta ilustração, observe seu inverso:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

Em essência, essa relação nos diz que qualquer sinal no domínio do tempo pode ser dividido em uma combinação linear de muitas funções exponenciais complexas em freqüências variadas (existe uma relação análoga para sinais de tempo discreto chamada Fourier em tempo discreto transformar , eu só tratar o caso de tempo contínuo abaixo para simplificar). Para um sinal no domínio do tempo , a transformada de Fourier produz uma função correspondente que especifica, para cada frequência , o fator de escala a ser aplicado ao exponencial complexo na frequência$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$na combinação linear acima mencionada. Esses fatores de escala são, em geral, números complexos. Uma maneira de ver números complexos é no formato de amplitude / fase, ou seja:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

Olhando desta maneira, então, pode ser escrito como uma combinação linear de muitas funções exponenciais complexas, cada uma escalada em amplitude pela função e deslocada em fase pela função . Isso está alinhado com as propriedades do sistema LTI que discutimos anteriormente; se pudermos decompor nosso sinal de entrada em uma combinação linear de várias funções exponenciais complexas, podemos escrever a saída do sistema como a mesma combinação linear da resposta do sistema a essas funções exponenciais complexas.$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

Aqui é onde fica melhor: funções exponenciais são as funções próprias de sistemas lineares invariantes no tempo. A idéia é, semelhante aos vetores próprios na álgebra linear, se você colocar uma função exponencial em um sistema LTI, obtém a mesma função exponencial, dimensionada por um valor (geralmente complexo). Isso tem o efeito de alterar a amplitude e a fase da função exponencial que você coloca.

Isso é imensamente útil quando combinado com a decomposição baseada na transformação de Fourier discutida acima. Como dissemos antes, podemos escrever qualquer sinal como uma combinação linear de muitas funções exponenciais complexas em frequências variadas. Se passarmos para um sistema LTI, então (porque esses exponenciais são autofunções do sistema), a saída contém exponenciais complexos nas mesmas frequências, apenas em amplitude e com mudança de fase. Esses efeitos nas amplitudes e fases dos exponenciais, em função da frequência, são a resposta em frequência do sistema . Ou seja, para um sinal de entrada com a transformada de Fourier passada no sistema para produzir uma saída com a transformada de Fourier$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$,

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

Em resumo: Portanto, se conhecermos a resposta de freqüência um sistema e a transformada de Fourier do sinal que colocamos nele , será fácil calcular a transformação de Fourier da saída do sistema; é apenas o produto da resposta em frequência e da transformação do sinal de entrada. Para cada frequência exponencial complexa que está presente no espectro , o sistema tem o efeito de escalar a exponencial em amplitude por e mudar a exponencial em fase por radianos.$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

Reunindo-os:

A resposta de impulso de um sistema de LTI e a resposta de frequência estão intimamente relacionadas. A resposta de frequência é simplesmente a transformação de Fourier da resposta de impulso do sistema (para ver por que essa relação se mantém, veja as respostas para essa outra pergunta ). Portanto, para um sistema de tempo contínuo:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Portanto, dada a resposta de impulso de um sistema ou a resposta de frequência, você pode calcular o outro. Qualquer um deles é suficiente para caracterizar completamente o comportamento do sistema; a resposta ao impulso é útil ao operar no domínio do tempo e a resposta de frequência é útil ao analisar o comportamento no domínio da frequência.

Bang algo nítido uma vez e traçar como ele responde no domínio do tempo (como em um osciloscópio ou plotter caneta). Isso estará próximo da resposta ao impulso.

Obtenha um gerador de tons e vibre algo com diferentes frequências. Algumas frequências ressonantes serão amplificadas. Outros podem não responder de maneira alguma. Plote o tamanho da resposta e a fase versus a frequência de entrada. Isso estará próximo da resposta de frequência.

Para certas classes comuns de sistemas (em que o sistema não muda muito com o tempo e qualquer não linearidade é pequena o suficiente para ser ignorada para o objetivo em questão), as duas respostas estão relacionadas e uma transformação de Laplace ou Fourier pode ser aplicável para aproximar o relacionamento.

A resposta ao impulso é a resposta de um sistema a um único pulso de duração infinitamente pequena e energia unitária (um pulso Dirac). A resposta em frequência mostra quanto cada frequência é atenuada ou amplificada pelo sistema.

A resposta em frequência de um sistema é a resposta ao impulso transformada no domínio da frequência. Se você tiver uma resposta de impulso, poderá usar a FFT para encontrar a resposta de frequência e a FFT inversa para passar de uma resposta de frequência para uma resposta de impulso.

Em breve, temos dois tipos de respostas básicas: respostas de tempo e respostas de frequência . As respostas de tempo testam como o sistema trabalha com distúrbios momentâneos enquanto a resposta de frequência o testa com distúrbios contínuos. As respostas de tempo contêm itens como resposta em etapas, resposta em rampa e resposta a impulso . As respostas de frequência contêm respostas sinusoidais .

A Universidade de Aalto tem algum material do curso Mat-2.4129 livremente aqui , mais relevante provavelmente os arquivos do Matlab, porque a maioria das coisas em finlandês. Se você estiver mais interessado, verifique os vídeos abaixo para ver vídeos de introdução. Eu os achei úteis.

Eu tenho apenas um conhecimento muito elementar sobre os problemas de LTI, por isso os abordarei abaixo - mas certamente existem muitos mais tipos diferentes de problemas!

Respostas com problemas lineares invariantes no tempo

Com problemas de LTI (linear invariável no tempo), a entrada e a saída devem ter a mesma forma: a entrada sinusoidal possui uma saída sinusoidal e a entrada de etapa similar resulta na saída de etapa. Se você não possui um sistema de LTI - digamos que tenha feedback ou se seu controle / ruído e entrada estão correlacionados -, todas as afirmações acima podem estar erradas. Com o LTI, você obtém dois tipos de alterações: mudança de fase e amplitude, mas a frequência permanece a mesma. Se você quebrar algumas suposições, digamos, com não suposição de correlação, a entrada e a saída podem ter formas muito diferentes.

Se você precisar investigar se um sistema é LTI ou não, você pode usar ferramentas como a equação de Wiener-Hopf e análise de correlação. A equação de Wiener-Hopf é usada em sistemas ruidosos. É essencial validar resultados e verificar premissas, caso contrário, é fácil cometer erros com respostas diferentes. Mais sobre como determinar a resposta ao impulso com um sistema barulhento aqui .

Referências

1. Artigo da Wikipedia sobre LTI aqui

2. Vídeos de introdução muito bons sobre diferentes respostas aqui e aqui - alguns pontos-chave abaixo.