Qual é a resposta de fase e magnitude do ruído branco?

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Gostaria de criar ruído branco no domínio da frequência e depois transformá-lo no domínio do tempo usando python. Para entender o problema, simplesmente gerei ruído branco no domínio do tempo e o transformei no domínio freq:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Eu não pareço como esperava: Gráfico Bode de ruído branco Perguntas:

  • O ruído branco não deveria ter uma resposta de magnitude plana? (valores iguais para todas as frequências)
  • Qual é a relação entre o desvio padrão (1 no meu exemplo) e a magnitude e a fase?

Agradeço antecipadamente!

Uffe
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Respostas:

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O ruído branco não deveria ter uma resposta de magnitude plana? (valores iguais para todas as frequências)

A resposta de magnitude esperada do ruído branco é plana (é o que JasonR chama de densidade espectral de potência). Qualquer instância específica de uma sequência de ruído branco não terá uma resposta precisa e plana (é a isso que o comentário de JasonR se refere como espectro de potência).

De fato, a transformação de Fourier do ruído branco é ... ruído branco!

Qual é a relação entre o desvio padrão (1 no meu exemplo) e a magnitude e a fase?

Não haverá relação entre o desvio padrão e a fase. Quanto à magnitude, suponha que seja ruído branco estacionário com média zero e desvio padrão . Então a autocorrelação (covariância) é:n(t)σ

Rnn(τ)=E[n(t)n(t+τ)]=σ2δ(τ)

Portanto, a densidade espectral de potência é apenas (embora, por tempo discreto, haverá um dimensionamento com base na duração do sinal).σ2


Perguntas do comentário:

  1. Quando você diz que a transformação de Fourier também é ruído branco, como posso medir o std-dev quando a transformação é complexa? Parte real, imaginária ou alguma combinação?

Suponha que nosso ruído seja de tempo discreto e seja (média zero, Gaussiana, ruído branco com variação ). Então a transformação é:n[m]σ2

N[k]=m=0 0M-1n[m]e-j2πmk/M=m=0 0M-1n[m]porque(2πmk/M)+jn[m]pecado(2πmk/M)

e o valor esperado é:

E[N[k]]=E[m=0 0M-1n[m]e-j2πmk/M]=m=0 0M-1E[n[m]]e-j2πmk/M=0 0

A variação da parte real é dada por:

E[(N[k])2]=E[m=0 0M-1n[m]porque(2πmk/M)p=0 0M-1n[p]porque(2πpk/M)]=E[m=0 0M-1p=0 0M-1n[m]n[p]δ[n-p]porque(2πmk/M)porque(2πpk/M)]=m=0 0M-1E[n[m]2]porque2(2πmk/M)=σ2m=0 0M-1porque2(2πmk/M)=σ2(M2+porque(M+1)2πk/Mpecado(2πMk/M)2pecado(2πk/M)   )=σ2M2

Eu acredito que a parte imaginária se comportará da mesma maneira.

  1. Você poderia me esclarecer como a duração do sinal está relacionada à densidade espectral de potência (para situações de tempo discreto)

Acredito que (com base na derivação acima), a densidade espectral de potência (o valor esperado do quadrado da DFT) escalará linearmente conforme a duração.

  1. Se a fase não é afetada pelo std-dev, o que determina a amplitude de 3 graus e o tipo de distribuição (parece ser mais uniforme que normal)

Confira a tabela na página 2 deste arquivo PDF . diz que o argumento (fase) dos coeficientes será distribuído uniformemente, como você declara. Captura de tela da tabela incluída abaixo.

insira a descrição da imagem aqui

Peter K.
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Especificamente, os dois conceitos que o OP está confundindo são a densidade espectral de potência do ruído branco e o espectro de potência de uma realização específica de um processo aleatório de ruído branco.
Jason R
Obrigado! Eu tenho algumas perguntas de acompanhamento. 1: Quando você diz que a transformação de Fourier também é ruído branco, como posso medir o std-dev quando a transformação é complexa? Parte real, imaginária ou alguma combinação? 2: Você poderia me esclarecer como a duração do sinal se relaciona à densidade espectral de potência (para situações de tempo discreto) 3: Se a fase não for afetada pelo std-dev, o que determina a amplitude de 3 graus e o tipo de distribuição (parece ser bastante uniforme do que o normal)
Uffe
Perfeito! Isso explica todos os recursos da resposta em frequência. Agora está claro para mim que a amplitude da fase não era 3, mas , e que o std-dev das partes real e imaginária depende simplesmente da quantidade de elementos no vetor. Também posso confirmar, por experimento, que a parte imaginária também tem uma variação de . πσ2M2
Uffe #
Este é o link atual para o documento PDF mencionado acima ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ), que está quebrado.
Visitante
@ Guest Obrigado! No futuro, tente editar a resposta com o novo link. Ele não irá diretamente, pois precisará ser revisado por um usuário com maior número de representantes, mas chegará lá (e você receberá +2 representantes no processo).
Peter K.