Incompreensão da estimativa de Monte Carlo Pi

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Estou bastante certo de que entendo como a integração de Monte Carlo funciona, mas não estou entendendo a formulação de como é usada para estimar o Pi. Estou seguindo o procedimento descrito no quinto slide desta apresentação http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Eu entendo as etapas preliminares. Pi é igual a 4 vezes a área de um quarto do círculo unitário. E a área do quarto superior direito do círculo unitário centralizado em (0,0) é equivalente à integral da curva que é o quarto superior direito do círculo unitário em 0<x<1 e 0<y<1 .

O que eu não entendo é como essa integral é

I((x2+y2)<1)P(x,y)dxdy

onde é distribuído uniformemente no quadrado da unidade ao redor do quarto de círculo (ou seja, é sempre igual a 1 se e e 0 em caso contrário). Portanto, isso significaria que é a função que é o quadrante superior direito do círculo unitário em e mas não entendo como isso é verdade, uma vez que a função do indicador pode ser apenas 1 ou 0. Entendo que provavelmente foi escrita dessa maneira para facilitar a amostragem de Monte Carlo (ou seja, é uma expectativa, portanto, basta amostrar de e obtenha a média das amostras aplicadas aP(x,y)0<x<10<y<1I((x2+y2)<1)P(x,y)
0<x<10<y<1P(x,y)I((x2+y2)<1)), mas simplesmente não faz sentido para mim porque essa integral representa a área sob essa curva.

Alguém poderia fornecer uma explicação intuitiva disso. Talvez mostre como essa integral foi derivada passo a passo?

EDITAR:

Consegui entender melhor relacionando a expectativa a uma área. Vou explicar aqui caso ajude alguém. Primeiro comece relacionando Pi à área do quadrante superior direito do círculo unitário

π=4×Atr

Em seguida, colocamos o quadrante superior direito no quadrado da unidade. E sob uma distribuição uniforme sobre o quadrado da unidade, a área do quadrante do círculo é proporcional à probabilidade de obter uma amostra dele. Segue-se que a seguinte igualdade é válida

P(x2+y2<1)=AtrAsquare

e paraAsquare=1

P(x2+y2<1)=Atr

E substituindo na equação original

π=4×P(x2+y2<1)

e também é verdade que que é igual à integral dupla original.P(x2+y2<1)=E[I(x2+y2<1)]

Entendi, relacionando a área a uma probabilidade e, em seguida, relacionando essa probabilidade a uma expectativa equivalente à integral. Deixe-me saber se eu cometi algum erro.

user1893354
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Respostas:

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A área de um círculo de raio é igual a . Isso significa que um quarto do círculo tem área . Isso significa que o quadrado com o lado do raio do círculo como .lπl2l2π/4area=l2

Isso significa que a razão entre a área de um quarto de círculo e a área do quadrado é . π/4

Um ponto está no quadrado se . e está no quarto do círculo se . (x,y)0<x<1,0<y<10<x<1,0<y<1,x2+y2<1

Sua integral é tão Essa é exatamente a área descrita por um quarto de círculoI((x2+y2)<1)P(x,y)=I((x2+y2)<1)I(0<x<1)I(0<y<1)

insira a descrição da imagem aqui

Donbeo
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Acho que estou tendo dificuldades para estabelecer uma conexão entre os termos dentro da integral e a própria curva. Se você plotasse I (x ^ 2 + y ^ 2 <1) I (0 <x <1) (0 <y <1) para diferentes valores de x e y, você não obteria a curva. Por que é que?
User1893354
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{(x,y):(x2+y2<1),(0<x<1),(0<y<1)} são os pontos no quarto do círculo. Eu sugiro que você tente traçar esses pontos
Donbeo 25/05
Eu concordo com isso. (.) Mas quando você aplica a função de indicador I, todos eles são empurrados para 1 ou 0.
user1893354
O que você quer dizer?
Donbeo
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A função do indicador em uma integral é apenas outra maneira de definir as curvas onde calcular a integral. quarter of circle=1(x2+y2<1)1(0<x<1)1(0<y<1)
Donbeo
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A explicação intuitiva mais simples baseia-se no entendimento de que . Assim, . Depois de perceber o duplo integal é simplesmente uma probabilidade, ele deve fazer sentido intuitivo que você poderia provar e da unidade quadrado e calcular a proporção de empates para o qual . E(I(A))=P(A)I(x2+y2<1)dxdy=P(x2+y2<1)xyx2+y2<1

Talvez a outra parte da intuição que falta ao seu entendimento seja a conexão entre área e probabilidade. Uma vez que a área de toda a unidade quadrada é 1 e pontos estão uniformemente distribuídos no interior do quadrado, a área de qualquer região dentro da unidade quadrado corresponderia à probabilidade de que um ponto escolhido aleatoriamente seria dentro de .(x,y)AA

jsk
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É assim que eu também entendo. Mas estou tendo problemas para conectá-lo à formulação Pi = 4x (área do quarto de círculo). Realmente não faz sentido intuitivo comparar áreas com amostras. Suponho que a conexão seja que, sob uma distribuição uniforme, o número de amostras seja proporcional à área.
User1893354
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@ user1893354 Resposta revisada. Deixe-me saber se isso ajuda a sua intuição.
jsk
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Eu cheguei neste CV de surf e vejo que o código do Monte Carlo está na oitava. Por acaso, tenho uma simulação em R que torna a idéia de derivar o número como uma distribuição uniforme bivariada no plano sob as restrições das integrais no OP muito intuitiva:[ 0 , 1 ]π[0,1]

Dado que o quarto de um círculo é colocado em um quadrado de 1 unidade, a área é . Assim, a geração de pontos uniformemente distribuídos no quadrado terminará com carpete em todo o quadrado, e o cálculo da fração que cumpre será o mesmo que integrar pois estamos apenas selecionando a fração de pontos dentro do círculo em relação ao quadrado da unidade:( x , y ) 1 < π/4(x,y)1((x2+y2)<1)1<(x2+y2)1((x2+y2)<1)1(0<x<1)1(0<y<1)

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Podemos plotar os valores que caem dentro do raio entre 10.000 empates:

insira a descrição da imagem aqui

E podemos, naturalmente, chegar cada vez mais perto selecionando mais pontos. Com 1 milhão de pontos, obtemos:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

um resultado muito aproximado. Aqui está o enredo:

insira a descrição da imagem aqui

Antoni Parellada
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