Estou bastante certo de que entendo como a integração de Monte Carlo funciona, mas não estou entendendo a formulação de como é usada para estimar o Pi. Estou seguindo o procedimento descrito no quinto slide desta apresentação http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf
Eu entendo as etapas preliminares. Pi é igual a 4 vezes a área de um quarto do círculo unitário. E a área do quarto superior direito do círculo unitário centralizado em (0,0) é equivalente à integral da curva que é o quarto superior direito do círculo unitário em e .
O que eu não entendo é como essa integral é
onde é distribuído uniformemente no quadrado da unidade ao redor do quarto de círculo (ou seja, é sempre igual a 1 se e e 0 em caso contrário). Portanto, isso significaria que
é a função que é o quadrante superior direito do círculo unitário em e mas não entendo como isso é verdade, uma vez que a função do indicador pode ser apenas 1 ou 0. Entendo que provavelmente foi escrita dessa maneira para facilitar a amostragem de Monte Carlo (ou seja, é uma expectativa, portanto, basta amostrar de e obtenha a média das amostras aplicadas a
), mas simplesmente não faz sentido para mim porque essa integral representa a área sob essa curva.
Alguém poderia fornecer uma explicação intuitiva disso. Talvez mostre como essa integral foi derivada passo a passo?
EDITAR:
Consegui entender melhor relacionando a expectativa a uma área. Vou explicar aqui caso ajude alguém. Primeiro comece relacionando Pi à área do quadrante superior direito do círculo unitário
Em seguida, colocamos o quadrante superior direito no quadrado da unidade. E sob uma distribuição uniforme sobre o quadrado da unidade, a área do quadrante do círculo é proporcional à probabilidade de obter uma amostra dele. Segue-se que a seguinte igualdade é válida
e para
E substituindo na equação original
e também é verdade que que é igual à integral dupla original.
Entendi, relacionando a área a uma probabilidade e, em seguida, relacionando essa probabilidade a uma expectativa equivalente à integral. Deixe-me saber se eu cometi algum erro.
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A explicação intuitiva mais simples baseia-se no entendimento de que . Assim, . Depois de perceber o duplo integal é simplesmente uma probabilidade, ele deve fazer sentido intuitivo que você poderia provar e da unidade quadrado e calcular a proporção de empates para o qual .E(I(A))=P(A) ∫∫I(x2+y2<1)dxdy=P(x2+y2<1) x y x2+y2<1
Talvez a outra parte da intuição que falta ao seu entendimento seja a conexão entre área e probabilidade. Uma vez que a área de toda a unidade quadrada é 1 e pontos estão uniformemente distribuídos no interior do quadrado, a área de qualquer região dentro da unidade quadrado corresponderia à probabilidade de que um ponto escolhido aleatoriamente seria dentro de .(x,y) A A
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Eu cheguei neste CV de surf e vejo que o código do Monte Carlo está na oitava. Por acaso, tenho uma simulação em R que torna a idéia de derivar o número como uma distribuição uniforme bivariada no plano sob as restrições das integrais no OP muito intuitiva:[ 0 , 1 ]π [0,1]
Dado que o quarto de um círculo é colocado em um quadrado de 1 unidade, a área é . Assim, a geração de pontos uniformemente distribuídos no quadrado terminará com carpete em todo o quadrado, e o cálculo da fração que cumpre será o mesmo que integrar pois estamos apenas selecionando a fração de pontos dentro do círculo em relação ao quadrado da unidade:( x , y ) 1 < √π/4 (x,y) ∬1((x2+y2)<1)1<(x2+y2)−−−−−−−−√ ∬1((x2+y2)<1)1(0<x<1)1(0<y<1)
Podemos plotar os valores que caem dentro do raio entre 10.000 empates:
E podemos, naturalmente, chegar cada vez mais perto selecionando mais pontos. Com 1 milhão de pontos, obtemos:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644
um resultado muito aproximado. Aqui está o enredo:
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