Qual é o nome da falácia estatística na qual os resultados de lançamentos anteriores de moedas influenciam as crenças sobre lançamentos subsequentes de moedas?

Como todos sabemos, se você joga uma moeda que tem a mesma chance de cair cara, então se você joga a moeda muitas vezes, metade do tempo recebe cara e metade do tempo recebe coroa.

Ao discutir isso com um amigo, eles disseram que, se você atirar a moeda 1000 vezes e, digamos, as primeiras 100 vezes que ela caiu, então as chances de acertar uma cauda aumentaram (a lógica é que, se for imparcial, quando você o inverte 1000 vezes, você terá aproximadamente 500 cabeças e 500 caudas, de modo que as caudas devem ser mais prováveis).

Sei que isso é uma falácia, pois os resultados passados ​​não influenciam os resultados futuros. Existe um nome para essa falácia específica? Além disso, existe uma explicação melhor de por que isso é falacioso?

Chama-se falácia do jogador .

A primeira frase desta pergunta incorpora outra falácia (relacionada):

"Como todos sabemos, se você joga uma moeda que tem a mesma chance de acertar caras do que a coroa, então se você joga a moeda muitas vezes, na metade do tempo você ganha cara e na metade do tempo recebe coroa ."

Não, não vamos conseguir isso, não vamos ter cara metade do tempo e coroa metade do tempo. Se conseguirmos isso, o Jogador não estaria tão enganado, afinal . A expressão matemática para esta afirmação verbal é a seguinte: Para alguns "grandes" (mas finito)'temos , onde evidentemente denota o número de vezes que a moeda cai na cabeça. Como é finito, então também é finito e um valor distinto de . Então, o que acontece depois que o foi feito? Ou pousou cabeças, ou não. Nos dois casos,n h = n $n'$ nhn′n′+1n′n′+1n$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$ parou de ser igual a "metade do número de jogadas".

Mas talvez o que realmente quisemos dizer fosse um "inimaginavelmente grande" ? Então nós declaramos$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

Mas aqui, o RHS ("lado direito") contém que, pelo LHS ("lado esquerdo"), passou para o infinito. Portanto, o RHS também é infinito, e o que esta afirmação diz é que o número de vezes que a moeda vai cair é igual ao infinito, se jogarmos a moeda um número infinito de vezes (a divisão por é desprezível):$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

Esta é uma afirmação essencialmente correta, mas inútil , e obviamente não é o que temos em mente.

No total, a afirmação na questão não se aplica, independentemente de o "total de lançamentos" ser considerado finito ou não.

Talvez então devêssemos declarar

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

Primeiro, isso se traduz em "A proporção do número de cabeças desembarcadas sobre o número total de lançamentos tende ao valor quando o número de lançamentos tende ao infinito", que é uma afirmação diferente - não "metade do total de lançamentos" Aqui. Além disso, é assim que às vezes a probabilidade ainda é percebida - como um limite determinístico de frequências relativas. O problema com esta afirmação é que ela contém no LHS uma forma indeterminada: o numerador e o denominador vão para o infinito. $1/2$

Hummm, vamos trazer o arsenal de variáveis ​​aleatórias . Defina uma variável aleatória como assumindo o valor se o ésimo lançamento surgir , se surgir coroa. Então temos 1 i 0 n $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

Podemos agora pelo menos declarar

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

Não . Este é um limite determinístico. Ele permite todas as realizações possíveis da sequência dos 's e, portanto, nem garante que exista um limite, muito menos que seja igual a . De fato, tal afirmação só pode ser vista como uma restrição na sequência e destruiria a independência dos lançamentos.1 /$X$$1/2$

O que podemos dizer é que essa soma média converge em probabilidade ("fracamente") para (Bernoulli - Lei Fraca de Grandes Números),$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

e no caso em consideração, que também converge quase com certeza ("fortemente") (Borel - Lei Forte dos Grandes Números)

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

Mas essas são declarações probabilísticas sobre a probabilidade associada à diferença entre e , e não sobre o limite da diferença (que de acordo com a declaração falsa deve ser zero - e não é). 1 / 2 n h - n $n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$

É certo que é preciso algum esforço intelectual dedicado para realmente entender essas duas afirmações e como elas diferem (na "teoria" e na "prática") de algumas das anteriores - ainda não reivindico uma compreensão tão profunda para mim.

Essa falácia tem muitos nomes.

1) Provavelmente é mais conhecida como a falácia do jogador

2) às vezes também é chamada de ' lei dos pequenos números ' (veja também aqui ) (porque se refere à ideia de que as características da população devem ser refletidas em pequenas amostras) - o que eu acho que é um nome interessante por seu contraste com a lei de grandes números, mas infelizmente o mesmo nome é aplicado à distribuição de Poisson (e também às vezes usada por matemáticos para significar outra coisa novamente), de modo que pode ser confuso.

3) entre as pessoas que acreditam na falácia, às vezes é chamada de ' lei das médias ', que em particular tende a ser invocada após uma execução sem algum resultado para argumentar que o resultado é 'devido', mas é claro que não existe um curto prazo. a lei existe - nada age para 'compensar' um desequilíbrio inicial - a única maneira de eliminar uma discrepância inicial é pelo volume de valores posteriores, os quais têm uma média de 1/2 .

Considere um experimento em que uma moeda justa seja lançada repetidamente; Seja o número de caras e o número de caudas observadas até o final do ésimo teste. Observe queT i i i = H i + T $H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

É interessante notar que, a longo prazo (ou seja, ), enquanto converge em probabilidade de ,cresce com o aumento de - de fato, cresce sem limites; não há nada "empurrando-o de volta para 0".H $n\to\infty$$\frac{H_n}{n}$ E| Hn-Tn| $\frac{_1}{^2}$$E|H_n-T_n|$$n$

Você está pensando em 'estocástico'? O lançamento de uma moeda justa (ou o lançamento de um dado justo) é estocástico (isto é, independente) no sentido de que não depende de um lançamento anterior dessa moeda. Assumindo um golpe justo, o fato de a moeda ter sido lançada cem vezes com cem cabeças resultando não altera o fato de que o próximo lançamento tem 50% de chance de ser cara.

Por outro lado, a probabilidade de retirar uma determinada carta e retirar uma carta de um baralho sem substituição não é estocástica, porque a probabilidade de retirar uma determinada carta altera a probabilidade de retirar a carta no próximo sorteio (se foi com substituição, seria estocástico).

$X_n$$n$$X_n$$N(n/2, \sqrt{n/4})$$X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$

$X_{100} =100$$Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

$Y_{900}$$N(450, 15)$

Assim, depois de observar 100 cabeças nas primeiras 100 tentativas, não há mais uma probabilidade alta de observar perto de 500 sucessos nas primeiras 1000 tentativas, assumindo, é claro, que a moeda seja justa. Observe que este é um exemplo concreto que ilustra que é improvável que um desequilíbrio inicial seja compensado no curto prazo.

$n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

mas o impacto do desequilíbrio nos 100 primeiros lançamentos é insignificante a longo prazo desde

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

Você está se referindo à falácia do jogador , embora isso não esteja totalmente correto.

De fato, se formulado como "dada uma moeda justa assumida e observada uma determinada sequência de resultados, qual é a estimativa das probabilidades elementares da moeda", isso se torna mais aparente.

De fato, a " falácia " está relacionada apenas a moedas justas (presumidas), onde os vários produtos de probs são iguais. No entanto, isso implica uma interpretação que contrasta com (estudo de) casos semelhantes com uma moeda com outra distribuição de probabilidade (não simétrica / tendenciosa).

Para uma discussão mais aprofundada sobre isso (e uma pequena reviravolta), veja esta pergunta .

É exatamente como a falácia usada em muitos estudos estatísticos em que a correlação implica causalidade . Mas pode ser um indício de uma relação de causalidade ou causa comum.

Apenas para observar, que se você obtiver uma enorme quantidade de caras ou coroas seguidas, talvez seja melhor revisitar sua suposição anterior de que a moeda era justa.