Uma moeda justa é lançada até que uma cabeça apareça pela primeira vez. A probabilidade disso acontecer em um sorteio de número ímpar é?

Uma moeda justa é lançada até que uma cabeça apareça pela primeira vez. A probabilidade disso acontecer em um sorteio de número ímpar é? Como abordar esse problema?

Some as probabilidades da moeda chegar cara pela primeira vez no sorteio 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• O termo é bastante óbvio, é a probabilidade do primeiro lançamento ser cara.$1/2$

• O termo é a probabilidade de obter cabeças pela primeira vez no terceiro arremesso, ou a sequência TTH. Essa sequência tem uma probabilidade de . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• O termo é a probabilidade de obter cabeças pela primeira vez no quinto sorteio, ou a sequência TTTTH. Essa sequência tem uma probabilidade de . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Agora podemos reescrever a série acima como

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Esta é uma série geométrica que totaliza . A maneira mais fácil de mostrar isso é com um exemplo visual. Comece com a série$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Esta é uma série geométrica que totaliza .$1$

Se somarmos apenas os termos pares dessa série, podemos ver que eles somam .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

Se você eliminar os termos pares da sequência completa, ficará com apenas os termos ímpares, que devem somar .$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Pense recursivamente - seja a probabilidade da primeira cabeça em um lançamento ímpar e seja a probabilidade da primeira cabeça em um lançamento par. Agora , e também temos que é igual à probabilidade de caudas do primeiro lançamento vezes . Assim ; ; .p e p o + p de e = 1 p e p o p E = 1 / 2 ⋅ p o p o + 1 / 2 ⋅ p o = 1 P o = 2 /$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$