Se é um CDF, parece que ( ) também é um CDF.F Z ( z ) α α > 0
P: Esse é um resultado padrão?
P: Existe uma boa maneira de encontrar uma função com st , ondeX ≡ g ( Z ) F X ( x ) = F Z ( z ) α x ≡ g ( z )
Basicamente, tenho outro CDF em mãos, . Em algum sentido de forma reduzida, eu gostaria de caracterizar a variável aleatória que produz esse CDF.
Edição: ficaria feliz se eu pudesse obter um resultado analítico para o caso especial . Ou pelo menos saiba que esse resultado é intratável.
data-transformation
cdf
quantile-function
lowndrul
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Respostas:
Gosto das outras respostas, mas ninguém mencionou o seguinte ainda. O evento ocorre se e somente se , portanto, se e são independentes e , então portanto, para um número inteiro positivo (digamos, ) leva que os são iid{ m a x ( U , V ) ≤ t } U V W = m a x ( U , V ) F W ( t ) = F U ( t ) ∗ F V ( t ) α α = n X = m a x ( Z{ U≤ t , V ≤ t } {max(U,V)≤t} U V W=max(U,V) FW(t)=FU(t)∗FV(t) α α=n ZX=max(Z1,...Zn) Z
Para , podemos alternar para obter , portanto seria essa variável aleatória, de modo que o máximo de cópias independentes tenha a mesma distribuição que (e isso não seja um dos nossos amigos familiares, em geral). F Z = F n X X n Zα=1/n FZ=FnX X n Z
O caso de um número racional positivo (digamos, ) segue o anterior desde que α = m / n ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m .α α=m/n
Para e irracional, escolha uma sequência de racionais positivos convergindo para ; então a sequência (onde podemos usar nossos truques acima para cada ) convergirá na distribuição para o desejado.a k α X k k Xα umak α Xk k X
Essa pode não ser a caracterização que você está procurando, mas menos dá uma idéia de como pensar em para adequadamente agradável. Por outro lado, não tenho certeza do quanto isso pode ser mais agradável: você já possui o CDF, então a regra da cadeia fornece o PDF e você pode calcular momentos até o sol se pôr ...? É verdade que a maioria dos não tem um familiar para , mas se eu quisesse brincar com um exemplo para procurar algo interessante, eu poderia tentar o uniformemente distribuído no intervalo da unidade com , . α Z X α = √FαZ α Z X ZF(z)=z0<z<1α = 2-√ Z F( z) = z 0 < z< 1
EDIT: Escrevi alguns comentários na resposta do @JMS e havia uma pergunta sobre minha aritmética, então escreverei o que quis dizer na esperança de que fique mais claro.
@cardinal corretamente no comentário à resposta do @JMS escreveu que o problema se simplifica para ou mais geralmente quando não é necessariamente , temos Meu argumento foi que, quando tem uma função inversa agradável, podemos resolver a função com álgebra básica. Escrevi no comentário que deveria ser Z N ( 0 , 1 ) x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) ) . F y = g ( x ) g y = g ( x ) = F
Vamos pegar um caso especial, conectar as coisas e ver como funciona. Seja uma distribuição Exp (1), com CDF e CDF inverso É fácil conectar tudo para encontrar ; depois que terminamos, obtemos Então, em resumo , minha afirmação é que, se e se definirmos então terá um CDF que se parece com Podemos provar isso diretamente (vejaF ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . g y = g ( x ) = - ln ( 1 - ( 1 - e - x ) 1 / α ) X ∼ E xX
A plotagem dos resultados da simulação é apresentada a seguir.
O código R usado para gerar o gráfico (menos rótulos) é
O ajuste parece muito bom, eu acho? Talvez eu não esteja louco (desta vez)?
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Prova sem palavras
A curva azul inferior é , a curva vermelha superior é (tipificando o caso ) e as setas mostram como ir de a .F Fα α < 1 z x = g( z)
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Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}], Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]
Q1) Sim. Também é útil para gerar variáveis que são estocásticas; você pode ver isso na bonita foto do whuber :). troca a ordem estocástica.α > 1
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