CDF elevado a um poder?

15

Se é um CDF, parece que ( ) também é um CDF.F Z ( z ) α α > 0FZFZ(z)αα>0

P: Esse é um resultado padrão?

P: Existe uma boa maneira de encontrar uma função com st , ondeX g ( Z ) F X ( x ) = F Z ( z ) α x g ( z )gXg(Z)FX(x)=FZ(z)αxg(z)

Basicamente, tenho outro CDF em mãos, . Em algum sentido de forma reduzida, eu gostaria de caracterizar a variável aleatória que produz esse CDF.FZ(z)α

Edição: ficaria feliz se eu pudesse obter um resultado analítico para o caso especial . Ou pelo menos saiba que esse resultado é intratável.ZN(0,1)

lowndrul
fonte
2
Sim, esse é um resultado bem conhecido e fácil de generalizar. (Como?) Você também pode encontrar , pelo menos implicitamente. É essencialmente uma aplicação da técnica de transformação inversa, provavelmente usada para gerar variáveis ​​aleatórias de uma distribuição arbitrária. g
cardeal
2
@ cardinal Por favor, responda. Mais tarde, a equipe reclama que não estamos lutando com baixa proporção de respostas.
1
@mbq: Obrigado por seus comentários, que eu entendo e respeito muito. Por favor, entenda que às vezes considerações de tempo e / ou local não me permitem postar uma resposta, mas permitem um comentário rápido que pode levar o OP ou outros participantes a começar. Tenha certeza de que, daqui para frente, se eu puder postar uma resposta, farei isso. Espero que minha participação continuada por meio de comentários também esteja bem.
cardeal
2
@ cardinal Alguns de nós também somos culpados pelo mesmo motivo, pelas mesmas razões ...
whuber
2
@brianjd Sim, este é um resultado bem conhecido que tem sido usado para produzir industrialmente distribuições "generalizadas", consulte . Existem muitas transformações como essa e as pessoas as usam para esse fim: elas encontram uma transformação paramétrica, aplicam-na a uma distribuição e voilá, você tem um artigo apenas calculando suas propriedades. E, claro, o normal é a primeira 'vítima'.

Respostas:

11

Gosto das outras respostas, mas ninguém mencionou o seguinte ainda. O evento ocorre se e somente se , portanto, se e são independentes e , então portanto, para um número inteiro positivo (digamos, ) leva que os são iid{ m a x ( U , V ) t } U V W = m a x ( U , V ) F W ( t ) = F U ( t ) F V ( t ) α α = n X = m a x ( Z{vocêt, Vt}{mumax(você,V)t}vocêVW=mumax(você,V)FW(t)=Fvocê(t)FV(t)αα=nZX=mumax(Z1,...Zn)Z

Para , podemos alternar para obter , portanto seria essa variável aleatória, de modo que o máximo de cópias independentes tenha a mesma distribuição que (e isso não seja um dos nossos amigos familiares, em geral). F Z = F n X X n Zα=1/nFZ=FXnXnZ

O caso de um número racional positivo (digamos, ) segue o anterior desde que α = m / n ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m .αα=m/n

(FZ)m/n=(FZ1/n)m.

Para e irracional, escolha uma sequência de racionais positivos convergindo para ; então a sequência (onde podemos usar nossos truques acima para cada ) convergirá na distribuição para o desejado.a k α X k k XαumakαXkkX

Essa pode não ser a caracterização que você está procurando, mas menos dá uma idéia de como pensar em para adequadamente agradável. Por outro lado, não tenho certeza do quanto isso pode ser mais agradável: você já possui o CDF, então a regra da cadeia fornece o PDF e você pode calcular momentos até o sol se pôr ...? É verdade que a maioria dos não tem um familiar para , mas se eu quisesse brincar com um exemplo para procurar algo interessante, eu poderia tentar o uniformemente distribuído no intervalo da unidade com , . α Z X α = FZααZX ZF(z)=z0<z<1α=2ZF(z)=z0 0<z<1


EDIT: Escrevi alguns comentários na resposta do @JMS e havia uma pergunta sobre minha aritmética, então escreverei o que quis dizer na esperança de que fique mais claro.

@cardinal corretamente no comentário à resposta do @JMS escreveu que o problema se simplifica para ou mais geralmente quando não é necessariamente , temos Meu argumento foi que, quando tem uma função inversa agradável, podemos resolver a função com álgebra básica. Escrevi no comentário que deveria ser Z N ( 0 , 1 ) x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) ) . F y = g ( x ) g y = g ( x ) = F

g-1(y)=Φ-1(Φα(y)),
ZN(0 0,1)
x=g-1(y)=F-1(Fα(y)).
Fy=g(x)g
y=g(x)=F-1(F1/α(x)).

Vamos pegar um caso especial, conectar as coisas e ver como funciona. Seja uma distribuição Exp (1), com CDF e CDF inverso É fácil conectar tudo para encontrar ; depois que terminamos, obtemos Então, em resumo , minha afirmação é que, se e se definirmos então terá um CDF que se parece com Podemos provar isso diretamente (vejaF ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . g y = g ( x ) = - ln ( 1 - ( 1 - e - x ) 1 / α ) X E xX

F(x)=(1-e-x), x>0 0,
F-1(y)=-em(1-y).
g
y=g(x)=-em(1-(1-e-x)1/α)
Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X ) 1 / α ) , Y F Y ( y ) = ( 1 - e - y ) α . P ( Y y ) Se  X F  então  U = F ( X ) U n iXExp(1)
Y=-em(1-(1-e-X)1/α),
Y
FY(y)=(1-e-y)α.
P(Yy) e use álgebra para obter a expressão, no próximo para o último passo precisamos da Transformação Integral de Probabilidade). Apenas no caso (muitas vezes repetido) em que sou louco, fiz algumas simulações para verificar se funciona, ... e funciona. Ver abaixo. Para facilitar o código, usei dois fatos:
E se XF então você=F(X)vocênEuf(0 0,1).
E se vocêvocênEuf(0 0,1) então você1/αBetuma(α,1).

A plotagem dos resultados da simulação é apresentada a seguir.

ECDF e F para o alfa

O código R usado para gerar o gráfico (menos rótulos) é

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

O ajuste parece muito bom, eu acho? Talvez eu não esteja louco (desta vez)?


fonte
Veja meu comentário na resposta @JMS. Para , parece que a resposta é que não está fechada, mas pode ser calculado com bastante facilidade. E você pode facilitar, reconhecendo que a entrada no CDF inverso é uma distribuição Beta adequadamente escolhida. A resposta será boa nos casos em que o CDF inverso é bom, e há alguns deles por aí. ZN(0 0,1)g(z)=Φ-1(Φ1/α(z))
Seria bom verificar sua aritmética.
cardeal
@ cardinal errr ... OK, eu fiz, ... e está certo? Você poderia apontar o erro?
(+1) Desculpas. Não sei onde estava minha cabeça quando olhei pela primeira vez. Obviamente (bem, deveria ter sido!) Correto.
cardeal
@ cardinal, nenhum dano, nenhuma falta. Eu admito, porém, você realmente me fez suar por um minuto! :-)
14

Prova sem palavras

insira a descrição da imagem aqui

A curva azul inferior é , a curva vermelha superior é (tipificando o caso ) e as setas mostram como ir de a .FFαα<1zx=g(z)

whuber
fonte
Foto legal! Q: O que foi desenhado? TikZ?
lowndrul
@brianjd: Se bem me lembro, o @whuber faz muitas de suas tramas usando o Mathematica.
cardeal
3
@ cardinal Você está certo. Na verdade, eu uso o que for útil e parece que ele fará um bom trabalho rapidamente. FWIW, aqui está o código:Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}], Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]
whuber
6

Q1) Sim. Também é útil para gerar variáveis ​​que são estocásticas; você pode ver isso na bonita foto do whuber :). troca a ordem estocástica.α>1

Fz(z)α10 0Fz

FZ

JMS
fonte
ZN(0 0,1)
2
gg-1Φα(você)=P(g(Z)você)=P(Zg-1(você))=Φ(g-1(você))g-1(você)=Φ-1(Φα(você))gg
FZ
Zvocê[0 0,1]
Betuma(uma,1)Betuma(umaα,1)