Transformando dados de proporção: quando a raiz quadrada arcsin não é suficiente

Existe uma alternativa (mais forte?) Para a transformação da raiz quadrada do arcsin para dados de porcentagem / proporção? No conjunto de dados em que estou trabalhando no momento, a heterocedasticidade acentuada permanece após a aplicação dessa transformação, ou seja, o gráfico de resíduos versus valores ajustados ainda é muito romboidal.

Editado para responder aos comentários: os dados são decisões de investimento de participantes experimentais que podem investir de 0 a 100% de uma doação em múltiplos de 10%. Também examinei esses dados usando regressão logística ordinal, mas gostaria de ver o que um glm válido produziria. Além disso, eu pude ver a resposta útil para trabalhos futuros, pois o arcsin square root parece ser usado como uma solução única para o meu campo e não encontrei nenhuma alternativa empregada.

Certo. John Tukey descreve uma família de transformações (crescentes, um para um) na EDA . É baseado nestas idéias:

1. Ser capaz de estender as caudas (em direção a 0 e 1) conforme controlado por um parâmetro.

2. No entanto, para coincidir com os valores originais (não transformados) perto do meio ( $1/2$ ), o que torna a transformação mais fácil de interpretar.

3. Para tornar a reexpressão simétrica em torno de $1/2.$ Ou seja, se $p$ for reexpresso como $f(p)$ , então $1-p$ será reexpresso como $-f(p)$ .

Se você começar com qualquer aumento monotônica função $g: (0,1) \to \mathbb{R}$ diferenciável em $1/2$ você pode ajustá-lo para atender o segundo e terceiro critérios: basta definir

O numerador é explicitamente simétrico (critério $(3)$ ), porque trocar $p$ com $1-p$ inverte a subtração, negando-a. Para ver que $(2)$ é satisfeita, nota que o denominador é precisamente o factor necessário para fazer $f^\prime(1/2)=1.$ Recorde-se que os derivados aproxima do comportamento local de uma função com uma função linear; uma inclinação de $1=1:1$ significa que $f(p)\approx p$(mais uma constante $-1/2$ ) quando $p$ é suficientemente perto de $1/2.$ Este é o sentido no qual os valores originais são "combinado perto do meio."

Tukey chama isso de versão "dobrada" de $g$ . Sua família consiste nas transformações de potência e logarítmica $g(p) = p^\lambda$ onde, quando $\lambda=0$ , consideramos $g(p) = \log(p)$ .

Vejamos alguns exemplos. Quando $\lambda = 1/2$ temos a raiz dobrado, ou "froot," $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$. Quando$\lambda = 0$, temos o logaritmo dobrado, ou "flog",$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ Evidentemente, esse é apenas um múltiplo constante datransformaçãodologit,$\log(\frac{p}{1-p})$.

Neste gráfico dos corresponde linha azul para $\lambda=1$ , a linha vermelha intermediário para $\lambda=1/2$ , e a linha extrema verde para $\lambda=0$ . A linha pontilhada de ouro é a transformação arcsine , $\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$. O "correspondente" de pistas (critério$(2)$) faz com que todos os gráficos para perto coincidem$p=1/2.$

Os valores mais úteis do parâmetro $\lambda$ estão entre $1$ e $0$ . (Você pode fazer as caudas ainda mais pesado com valores negativos de $\lambda$ , mas este uso é raro.) $\lambda=1$ não faz nada em tudo, exceto a recentralização dos valores ( $f(p) = p-1/2$ ). À medida que $\lambda$ encolhe em direção a zero, as caudas são puxadas ainda mais em direção a $\pm \infty$ . Isso satisfaz o critério nº 1. Assim, escolhendo um valor apropriado de $\lambda$ , você pode controlar a "força" dessa reexpressão nas caudas.

Uma maneira de incluir é incluir uma transformação indexada. Uma maneira geral é usar qualquer função de distribuição cumulativa simétrica (inversa), de modo que e F ( x ) = 1 - F ( - x ) . Um exemplo é a distribuição padrão do aluno t, com ν graus de liberdade. O parâmetro v controla a rapidez com que a variável transformada se desloca para o infinito. Se você definir v = 1 , terá a transformação arctan:$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

Isso é muito mais extremo que o arcsine e mais extremo que a transformação de logit. Observe que a transformação logit pode ser aproximada usando a distribuição t com . SO, de alguma forma, fornece um link aproximado entre as transformações logit e probit ( ν = ∞ ) e uma extensão delas para transformações mais extremas.$\nu\approx 8$$\nu=\infty$

O problema com essas transformações é que elas dão quando a proporção observada é igual a 1 ou 0 . Então você precisa de alguma forma encolher esses de alguma maneira - a maneira mais simples é adicionar + 1 "sucessos" e + 1 "falhas".$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$