Derivando a densidade posterior para uma probabilidade lognormal e prévia de Jeffreys

A função de probabilidade de uma distribuição lognormal é:

$f(x; \mu, \sigma) \propto \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right )$

e o Prior de Jeffreys é:

$p(\mu,\sigma) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

então, combinar os dois dá:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

Eu sei que a densidade posterior para é Gamma inversa distribuída, então eu tenho que calcular$\sigma^2$

$f(\sigma^2|x) = \int f(\mu,\sigma^2|x) d\mu$

mas não tenho idéia por onde começar aqui.

Após o comentário de Glen_b, eu dou uma chance:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

$= \sigma^{-n-2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \exp \left ( - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu ) \right)$

mas não consigo ver isso indo a lugar algum.

Outra idéia que tive foi definir , então é distribuído normalmente. assim$y_i=\ln(x_i)$$y$

$f(\mu,\sigma^2 |y) = \left [ \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sigma} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (y_i - \mu)^2 \right ) \right ] \cdot \frac{1}{\sigma^2}$

=σ-n-2⋅exp(-$\propto \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 + n(\bar y - \mu)^2 \right )$ =σ-n-2⋅exp(-$= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 + n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \exp \left (n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$

depois integre:

$\sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu$

pelo método que você sugeriu que eu recebesse:

$\int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu = \sqrt{\frac{2\pi \sigma^2}{n}}$

Assim:

$\propto (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right )$

que é realmente Gamma inverso distribuído.

Mas não tenho certeza se isso está correto, também é o mesmo resultado que recebo para uma probabilidade normal.

Encontrei isso na literatura (sem mais explicações):

Observe que - considerado como uma função em - o que você tem é proporcional a uma densidade normal.$\mu$

Portanto, a etapa 1 é completar o quadrado em que está no expoente, retire a frente da integral todas as constantes supérfluas e multiplique o termo na integral pela constante necessária para integrá-la a 1. Em seguida, divida em frente da integral pela mesma constante (para não alterar o valor da expressão geral).$\mu$

Como você tem uma densidade na integral, substitua o termo na integral por 1.

Você fica com uma função de (aquela que substituiu por um valor semelhante a uma estimativa).$\sigma$$\mu$

Agora veja a densidade para uma gama inversa aqui :

(neste caso, usando uma parametrização de escala de forma).

Supondo que você tenha o correto anterior (eu não verifiquei isso) -

você procura uma densidade posterior para . Observe que sua função após a integração pode ser escrita no formato .$\sigma^2$$c\cdot(\sigma^2)^{-\text{something}}\cdot\exp(-\text{something-else}/\sigma^2)$

Então você tem uma expressão proporcional a uma densidade gama inversa em . (Como deve ser uma densidade, forneça a constante necessária para integrá-la a 1.)$\sigma^2$