De acordo com o artigo da Wikipedia sobre estimativa imparcial do desvio padrão, a amostra DP
é um estimador tendencioso do DP da população. Ele afirma que .
NB Variáveis aleatórias são independentes e cada
Minha pergunta é dupla:
- Qual é a prova da parcialidade?
- Como calcular a expectativa do desvio padrão da amostra
Meu conhecimento de matemática / estatística é apenas intermediário.
estimation
standard-deviation
Dav Weps
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Respostas:
A resposta da @ NRH a esta pergunta fornece uma prova simples e agradável da parcialidade do desvio padrão da amostra. Aqui vou calcular explicitamente a expectativa do desvio padrão da amostra (a segunda pergunta do pôster original) de uma amostra normalmente distribuída, momento em que o viés é claro.
A variância da amostra imparcial de um conjunto de pontos éx1,...,xn
Se o 's são distribuídos normalmente, é um facto quexi
onde é a verdadeira variação. A distribuição χ 2 k tem densidade de probabilidadeσ2 χ2k
usando isso, podemos derivar o valor esperado de ;s
que decorre da definição do valor esperado e do fato de que é a raiz quadrada de umavariável distribuídaχ2. O truque agora é reorganizar os termos para que o integrando se torne outradensidadeχ2:s2(n−1)σ2−−−−−−√ χ2 χ2
agora conhecemos o integrando que a última linha é igual a 1, pois é uma densidade . Simplificar um pouco as constantes forneceχ2n
Portanto, o viés de és
Não é difícil ver que esse viés não é 0 para qualquer finito , provando assim que o desvio padrão da amostra é tendencioso. Abaixo da polarização é trama como uma função de n para σ = 1 em vermelho, juntamente com 1 / 4 N em azul:n n σ= 1 1 / 4 n
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