Quais são os parâmetros de um posterior Wishart-Wishart?

Quando inferir a precisão matriz de uma distribuição normal usado para gerar vectores de D-dimensionais \ begin {align} \ mathbf {x_i} & \ sim \ mathcal {N} (\ boldsymbol {\ mu, \ Lambda ^ {- 1}}) \\ \ end {align} geralmente colocamos um Wishart antes de \ boldsymbol {\ Lambda}, pois a distribuição Wishart é o conjugado anterior para a precissão de uma distribuição normal multivariada com média conhecida e variância desconhecida: \ begin {align} \ mathbf {\ Lambda} e \ sim \ mathcal {W} (\ upsilon, \ boldsymbol {\ Lambda_0}) \\ \ end {align } onde \ upsilon são os graus de liberdade e \ boldsymbol {\ Lambda_0} o$\boldsymbol{\Lambda}$x 1 , . . , x N x $N$$\mathbf{x_1},..,\mathbf{x_N}$

$$\begin{align} \mathbf{x_i} &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu, \Lambda^{-1}}) \\ \end{align}$$ $\boldsymbol{\Lambda}$ $$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \\ \end{align}$$ $\upsilon$$\boldsymbol{\Lambda_0}$matriz de escala . Para adicionar robustez e flexibilidade ao modelo, colocamos uma hiper-prioridade sobre os parâmetros do Wishart. Por exemplo, Görür e Rasmussen sugerem: $$\begin{align} \mathbf{\Lambda_0} &\sim \mathcal{W}(D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ \frac{1}{\upsilon-D + 1} &\sim \mathcal{G}(1, \frac{1}{D}) \\ \end{align}$$ onde $\mathcal{G}$ é a distribuição gama.

Questão:

para provar a parte posterior de p ( Λ 0 | X , Λ , υ , D , Λ x ) ∝ W ( Λ | υ , Λ 0 ) W ( Λ 0 | D , $\boldsymbol{\Lambda_0}$

$$\begin{align} p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) \propto \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda} | \upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ \end{align}$$

qual é a família e os parâmetros deste posterior?

PS:

Eliminando todos os fatores que não dependem de e identificando os parâmetros com os parâmetros de um Wihsart, recebo um Wishart com os parâmetros: υ $\boldsymbol{\Lambda_0}$

$$\begin{align} \upsilon' &= \upsilon + D\\ \boldsymbol{\Lambda'} &= \boldsymbol{\Lambda} + \boldsymbol{\Lambda_x} \end{align}$$

o que parece muito bom, mas não estou confiante, pois não encontro nenhum exemplo nem nos livros nem na internet.

Errata :

Görur e Rasmussen sugerem essas hiperpriorias sobre os parâmetros de Wishart, mas esta equação:

$$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \\ \end{align}$$

deve ser:

$$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}) \\ \end{align}$$

resolvendo, portanto, a falta de conjugação. Se quisermos manter o , devemos usar o Wishart inverso como uma prévia (consulte a resposta de @ Xi'an)$\boldsymbol{\Lambda_0}$

O produto das duas densidades em leva a

$$p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) \propto \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda} | \upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ $$ $$\begin{align*} p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) &\propto |\boldsymbol{\Lambda_0}|^{-\upsilon/2}\,\exp\{-\text{tr}(\boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}\boldsymbol{\Lambda})/2\}\\ &\times |\boldsymbol{\Lambda_0}|^{(D-p-1)/2}\,\exp\{-D\,\text{tr}(\boldsymbol{\Lambda_x}^{-1}\boldsymbol{\Lambda_0})/2\}\\ &\propto|\boldsymbol{\Lambda_0}|^{(D-\upsilon-p-1)/2}\,\exp\{-tr(\boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}+D\,\boldsymbol{\Lambda_x}^{-1}\boldsymbol{\Lambda_0})/2\}\,, \end{align*}$$
que não parece ser uma densidade padrão. Para manter o tipo de conjugação, o hierárquico anterior correto em deve ser algo como $\boldsymbol{\Lambda_0}$ $$\boldsymbol{\Lambda_0}\sim\mathcal{IW}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x})\,.$$

Ok, graças à resposta @ Xi'an, eu poderia fazer toda a derivação. Escreverei para um caso geral: onde o é a chave para a conjugação. Se quisermos usar , deve ser:

$$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S^{-1}} ) \times \mathcal{W}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) \end{align}$$ $\mathbf{S^{-1}}$$\mathbf{S}$ $$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S} ) \times \mathcal{IW}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) \end{align}$$

Estou fazendo o primeiro caso (corrija-me se estiver errado):

$$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S^{-1}} ) \times \mathcal{W}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) &\propto |\mathbf{S}|^{\upsilon/2} \exp\{-\frac{1}{2} tr(\mathbf{SW}) \}\\ &\times |\mathbf{S}|^{\frac{\upsilon_0 - D -1 }{2}} \exp\{-\frac{1}{2} tr (\mathbf{S_0^{-1} S})\}\\ &\propto |\mathbf{S}|^{\frac{\upsilon + \upsilon_0 - D -1 }{2}} \exp\{-\frac{1}{2} tr ( (\mathbf{W} + \mathbf{S_0^{-1}) S})\} \end{align}$$

onde usamos o fato de que . Por inspeção, observamos que esta é uma distribuição Wishart: $tr({\mathbf{SW}}) = tr({\mathbf{WS}})$

$$\begin{align} p(\mathbf{S} | \cdot) = \mathcal{W}(\upsilon+ \upsilon_0, \mathbf{(W+S_0^{-1})^{-1}}) \end{align}$$

Extensão para draws$N$$\mathbf{W_1...W_N}$ :

Para o caso em que temos matrizes de precisão, a probabilidade se torna um produto de verossimilhanças e obtemos:$N$$N$

$$\begin{align} p(\mathbf{S} | \cdot) = \mathcal{W}(N \upsilon+ \upsilon_0, (\sum_{i=1}^N \mathbf{W_i+S_0^{-1})^{-1}}) \end{align}$$