Como encontrar a média de uma soma de variáveis ​​dependentes?

Eu sei que a média da soma das variáveis ​​independentes é a soma das médias de cada variável independente. Isso também se aplica a variáveis ​​dependentes?

A expectativa (considerando a média) é um operador linear .

Isso significa que , entre outras coisas, $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ para quaisquer duas variáveis ​​aleatórias$X$ e$Y$ (para as quais existem expectativas), independentemente de serem independentes ou não.

Podemos generalizar (por exemplo por indução ), de modo que $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ desde que cada expectativa $\mathbb{E}(X_i)$ existe.

Portanto, sim, a média da soma é igual à soma da média, mesmo que as variáveis ​​sejam dependentes. Mas observe que isso não se aplica à variação! Portanto, enquanto $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ para variáveis ​​independentes, ou mesmo variáveis dependentes mas não correlacionadas , a fórmula geral é $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ que$\mathrm{Cov}$ é a covariância das variáveis.

TL; DR:
Supondo que exista, a média é um valor esperado e o valor esperado é uma integral, e as integrais têm a propriedade de linearidade em relação às somas.

TS; DR:
Uma vez que estamos a lidar com a soma de variáveis aleatórias , ou seja, de uma função de muitos deles, a média da soma de E ( Y n ) é em relação ao seu conjunto de distribuição ( assume-se que existem todos os meios e são finitos) Denoting X o vector multivariada do n de RV, a sua densidade de conjunta pode ser escrito como f X ( x ) = f X 1 , . . . n$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

e usando a linearidade das integrais , podemos decompor-se em

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

For each $n$-iterative integral we can re-arrange the order of integration so that, in each, the outer integration is with respect to the variable that is outside the joint density. Namely,

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

and in general

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

As we calculate one-by-one the integral in each $n$-iterative integral (starting from the inside), we "integrate out" a variable and we obtain in each step the "joint-marginal" distribution of the other variables. Each $n$-iterative integral therefore will end up as $\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$.

Bringing it all together we arrive at

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

But now each simple integral is the expected value of each random variable separately, so

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Note that we never invoked independence or non-independence of the random variables involved, but we worked solely with their joint distribution.