Derivação interessante de R ao quadrado

Anos atrás, eu encontrei essa identidade através da experimentação brincando com dados e transformações. Depois de explicar ao meu professor de estatística, ele entrou na aula seguinte com uma prova de uma página, usando notação de vetor e matriz. Infelizmente, perdi o papel que ele me deu. (Isso foi em 2007)

Alguém pode reconstruir uma prova?

Seja seus pontos de dados originais. Defina um novo conjunto de pontos de dados girando o conjunto original pelo ângulo ; chame esses pontos . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

O valor do quadrado R do conjunto de pontos original é igual ao produto negativo da derivada em relação a do logaritmo natural do desvio padrão para cada coordenada do novo conjunto de pontos, cada um avaliado em $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared sheppa28
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Respostas:

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$

Estou curioso para saber como você criou essa equação, especialmente o experimento em particular que revelou essa identidade.

Khashaa
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Obrigado! Isso é realmente muito mais simples do que a prova dele de que me lembro. A identidade surgiu apenas brincando com dados anos antes; para chutes, eu apenas faço rotações, desvios padrão, derivadas, logaritmos, somas, multiplicações, etc. Eu tinha o r ^ 2 original como uma linha horizontal, e representando graficamente qualquer função criada em função do teta. Às vezes eles cruzavam, mas em ângulos 'estranhos'; às vezes nunca cruzou. Então, de alguma forma, eles cruzaram em teta = zero. Achei isso interessante. Testei com outros dados aleatórios e ele ainda se manteve. Não vi como funcionava, mas pensei em uma identidade pura.

sheppa28