Qual é esse truque ao adicionar 1 aqui?

Eu estava olhando esta página na implementação de Monte Carlo do teste de Lillefors. Eu não entendo esta frase:

Há um erro aleatório neste cálculo da simulação. No entanto, devido ao truque de adicionar 1 ao numerador e denominador no cálculo do valor P, ele pode ser usado diretamente, sem levar em consideração a aleatoriedade.

O que eles querem dizer com o truque de adicionar 1 ao numerador e denominador?

O trecho de código relevante está aqui:

n <- length(x)
nsim <- 4999
d.star <- double(nsim)
for (i in 1:nsim) {
    x.star <- rnorm(n)
    d.star[i] <- fred(x.star)
}
hist(d.star)
abline(v = d.hat, lty = 2)
## simulation-derived P-value
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)

A explicação na página referenciada é

Sob a hipótese nula, a probabilidade é exatamente k / n sim quando são consideradas a aleatoriedade nos dados e a aleatoriedade na simulação.$\Pr(P \le k / n_\text{sim})$$k / n_\text{sim}$

Para entender isso, precisamos examinar o código, cujas linhas-chave (consideravelmente abreviadas) são

fred <- function(x) {ks.test(...)$statistic}  # Apply a statistical test to an array
d.hat <- fred(x)                              # Apply the test to the data
d.star <- apply(matrix(rnorm(n*nsim), n, nsim),
                2, fred)                      # Apply the test to nsim simulated datasets
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)# Estimate a simulation p-value

O principal problema é que o código não corresponde à cotação. Como podemos reconciliá-los? Uma tentativa começa com a última metade da cotação. Podemos interpretar o procedimento como compreendendo as seguintes etapas:

1. Recolha de dados distribuídos de forma independente e identicamente de acordo com uma lei de probabilidade L . Aplique um procedimento de teste t (implementado no código as ) para produzir o número T 0 = t ( X 1 , … , X n ) .$X_1, X_2, \ldots, X_n$$G$$t$fred$T_0=t(X_1, \ldots, X_n)$

2. Gerar via computador conjuntos de dados comparáveis, cada um de tamanho n , de acordo com uma hipótese nula com a lei probabilidade F . Aplicar t para cada tal conjunto de dados para produzir N números T 1 , T 2 , ... , T N .$N=n_\text{sim}$$n$$F$$t$$N$$T_1,T_2,\ldots,T_N$

3. Calcular

   $$P = \left(\sum_{i=1}^N I(T_i \gt T_0) + 1\right) / (N+1).$$

   $I$d.star > d.hat$T_0$$T_i$

$F=G$$\alpha$$0 \lt \alpha \lt 1$$N+1$$1$$P\le \alpha$$\alpha$$(N+1)\alpha - 1$$T_i$$T_0$$T_0$$(N+1)\alpha$$N+1$$T_0$$T_i$$F$$\lfloor (N+1)\alpha\rfloor$

$[0,1]$$N+1$$\alpha$$k/(N+1) = k/(n_\text{sim}+1)$$P$a caixa de diálogo que publiquei sobre o valor de p. )

$n_\text{sim}+1$$n_\text{sim}$

Eu acredito que aqui, 1 é adicionado a ambos porque a estatística observada está incluída na distribuição de referência; se for esse o caso, é por causa da parte "pelo menos tão grande" da definição de valor-p.

Não sei ao certo porque o texto parece estar dizendo algo diferente, mas seria por isso que eu faria isso.