As probabilidades de erros do tipo I e II estão negativamente correlacionadas?

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Em uma aula de estatística elementar para a qual eu era AT, o professor afirmou que, à medida que a probabilidade de um erro do tipo I aumenta, a probabilidade de um erro do tipo II diminui, e o inverso também é verdadeiro. Então, isso sugere para mim que . $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Mas como provar isso para um teste de hipótese geral? A afirmação é mesmo verdadeira em geral?

Eu poderia tentar um caso específico (digamos e ), mas obviamente isso não é geral o suficiente para lidar com essa questão. $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors Clarinetist
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Essas quantidades ( e ) não são variáveis aleatórias, por isso hesito em falar da correlação de Pearson; Não sei em que sentido isso se aplicaria. $\alpha$ $\beta$

Os dois estão relacionados negativamente no sentido de que, razoavelmente falando em geral (mas veja abaixo *) - e mantendo outras coisas (como tamanho da amostra e tamanho do efeito em que você calcula ) iguais - se você alterar , então moverá a direção oposta (especificamente, em situações típicas, é uma função de ; especifique quantidades suficientes para determinar e dependerá de - e esse relacionamento, nas situações mais razoáveis - do tipo que você gostaria de usar em um teste real - seja negativamente dependente). $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

Considere, por exemplo, alguma curva de potência. Mover empurrará a curva de potência ( ) para cima ou para baixo com ela, então em algum ponto da curva (que é a distância entre a curva e 1) diminui à medida que aumenta. Aqui está um exemplo com um teste bicaudal (digamos, um teste t). $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

insira a descrição da imagem aqui

O caso de uma cauda é semelhante, mas você focaria na metade direita da imagem acima (as duas curvas na metade esquerda da imagem se reduziriam para zero)

* Existem algumas situações em que isso não precisa ser o caso. Considere testar um uniforme (0,1) através de um teste de Kolmogorov-Smirnov.

Vamos considerar a possibilidade de que, em vez disso, tenhamos um uniforme em (ou de fato, qualquer distribuição com alguma probabilidade fora do intervalo unitário). $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

Se eu observar um valor que não esteja em (0,1), o teste de Kolmogorov-Smirnov não rejeita necessariamente o nulo. Mas eu posso fazer um segundo teste (vamos chamá-lo de KS *), que é como o Kolmogorov-Smirnov, exceto que, quando observamos um valor fora de (0,1), também rejeitamos o nulo, independentemente da estatística usual atinge o valor crítico.

Então, para qualquer alternativa que tenha qualquer probabilidade externa (0,1), reduzimos a taxa de erro do Tipo II (daquela para o teste KS comum) sem alterar . $\alpha$

$\dagger$ (normalmente não é uma boa ideia usar um KS nesse caso, portanto, se você souber que é uma possibilidade, precisará pensar cuidadosamente em alternativas)

Glen_b -Reinstate Monica
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Seja denotado a observação com densidade ou conforme a hipótese ou é verdadeira. Let e denotam as regiões de decisão . Assim, , e a decisão é que seja verdadeiro se . Então, as probabilidades de erro Tipo I e Tipo II são $X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ $X \in \Gamma_i$

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$ Considere duas outras regiões de decisão e tais que e . Agora, pois a integral está em um conjunto maior, o que significa que o nova regra de decisão tem uma maior probabilidade de erro do tipo I. Mas observe também que porque a integral está em um conjunto menor e, portanto, a nova regra de decisão tem uma menor probabilidade de erro do tipo II.

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

Dilip Sarwate
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O relacionamento que você está vendo entre e é verdadeiro com relação à atividade na qual eles pretendiam estar pensando no momento: ajustando o valor crítico usado para aceitar ou rejeitar uma hipótese. Se você dificulta a obtenção de um falso positivo, naturalmente precisa facilitar a obtenção de um falso negativo. Este site mostra graficamente a relação entre e . $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

O relacionamento não é verdadeiro para todas as atividades. Como um exemplo óbvio, se você aumentar o número de amostras em seu teste, poderá diminuir e simultaneamente. O relacionamento é garantido apenas para quando você estiver ajustando valores críticos $\alpha$ $\beta$

Cort Ammon
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"O relacionamento é apenas" - parece que o final da sua resposta foi cortado?

Silverfish

As probabilidades de erros do tipo I e II estão negativamente correlacionadas?

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