Que converge mais rápido, médio ou mediano?

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Se eu desenhar variáveis ​​iid de N (0,1), a média ou a mediana convergirão mais rapidamente? Quão rápido?

Para ser mais específico, seja x1,x2, uma sequência de variáveis ​​iid extraídas de N (0,1). Definir x¯n=1ni=1nxi, ex~nser a média de{x1,x2,xn}. Que converge para 0 mais rápido,{x¯n}ou{x~n}?

limnVar(X¯n)/Var(X~n)

Josh Brown Kramer
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Você está perguntando sobre a convergência na probabilidade de uma estimativa pontual em relação ao parâmetro populacional? Ou você está perguntando sobre a convergência na distribuição de uma variável aleatória?
Ryan Simmons
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Por "convergir mais rápido para 0", você quer dizer "qual tem a menor variação assintótica" ou algo mais?
Glen_b -Reinstala Monica
@Glen_b Até certo ponto, isso é motivado por um problema real: a mediana é mais robusta em relação aos valores discrepantes, portanto parece que a mediana da amostra deve convergir mais rapidamente que a média à medida que o tamanho da amostra aumenta. Realmente não sei qual é a melhor maneira de expressar a taxa de convergência nessa situação. Para concretização, eu poderia perguntar se existe e, em caso afirmativo, o que é. limnVar(X¯n)/Var(X~n)
Josh Brown Kramer
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Se os dados são realmente amostrados a partir de uma distribuição normal, os valores extremos são extremamente raros - tão raros que o impacto na média deixa a amostra média como a estimativa mais eficiente da média da população. Mas você não precisa de uma cauda pesada variada para tornar a mediana competitiva. Essa proporção que você mencionou será de cerca de 0,63
Glen_b -Reinstate Monica

Respostas:

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A média e a mediana são as mesmas, neste caso específico. Sabe-se que a mediana é 64% eficiente como a média; portanto, a média é mais rápida para convergir. Posso escrever mais detalhes, mas a Wikipedia lida exatamente com sua pergunta.

Yair Daon
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Você tem uma citação?
Josh Brown Kramer
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Laplace, PSde (1818) Deuxième suplemento à Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace fornece a distribuição assintótica para média e mediana. Veja também a seção sobre variação da mediana na Wikipedia
Glen_b -Reinstate Monica
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@Glen_b: (+1) a referência definitiva !!!
Xian
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@Glen_b sim, isso foi uma resposta épica, eu ri bastante. Obrigado por isso!
user541686
@ xi'an, você quis escrever que a média e a mediana são da mesma quantidade?
Yair Daon